深入浅出统计学-12 置信区间的构造

12 置信区间的构造

求解置信区间四步骤

第一步:选择总体统计量

  • 在我们的实例中,需要为口香糖口味持续时间的均值构建一个置信区间,于是就需要为总体均值μ构建一个置信区间

第二步:求出所选统计量的抽样分布

  • 我们需要知道均值的抽样分布,即需要知道

    的期望和方差以及其分布。

    • image-20210116125231022.png
    • 我们代入总体方差的数值σ2和样本大小的数值n,求出μ的置信区间。又因为我们不知道总体方差σ2的真实值,可以用它的点估计量进行估计。于是我们代入 S 2,所以均值和方差为:

    • image-20210116125130197.png
    • image-20210117130210535.png

第三步:决定置信水平

  • 置信水平表明你希望自己对于”置信区间包含总体统计量“这一说法有多大把握。例如,假设我们希望总体均值的置信水平为95%,这表示总体均值处于置信区间中的概率为0.95。

    • image-20210117132313088.png

第四步:求出置信上下限

  • 又因为均值的抽样分布符合正态分布。所有我们可以用标准正态分布求置信区间。

    • image-20210117132447674.png
    • 先求标准分Z

      • image-20210117132601966.png
      • 其中Z~N(0,1)

    • 用μ改写不等式

      • image-20210117135845374.png
    • 最后求
      image-20210116121341868.png

      的数值

      • image-20210117132943250.png
      • image-20210116121341868.png

        指的是样本均值的分布,于是我们可以用来自曼帝糖果公司样本的均值的值

当样本很小时,

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符合t分布

第一步:选择总体统计量

  • 在我们的实例中,需要为口香糖口味持续时间的均值构建一个置信区间,于是就需要为总体均值μ构建一个置信区间

第二步:求出所选统计量的抽样分布

我们需要知道均值的抽样分布,即需要知道
image-20210116121341868.png

的期望和方差以及其分布。

  • image-20210116125130197.png
  • image-20210117130210535.png
  • 我们代入总体方差的数值σ2和样本大小的数值n,求出μ的置信区间。又因为我们不知道总体方差σ2的真实值,可以用它的点估计量进行估计。于是我们代入S2,所以均值和方差为:

  • image-20210116125130197.png
  • image-20210117130210535.png
  • 当总体符合正态分布,σ2未知,且可供支配的样本很小时,

    image-20210116121341868.png
    符合t分布——这种分布正好可以用来处理我们面临的问题

    • t分布是外形光滑、对称的曲线,确切形状取决于样本大小。当样本很大时,t分布外形很像正态分布;当样本很小时,曲线较为扁平,有两条粗粗的尾巴。它只有一个参数——v,v=n-1。n为样本的大小,v被称为自由度

    • ”T符合t分布且自由度为v“的简明表示方法为:

      • T~t(v)

第三步:决定置信水平

  • 置信水平表明你希望自己对于”置信区间包含总体统计量“这一说法有多大把握。例如,假设我们希望总体均值的置信水平为95%,这表示总体均值处于置信区间中的概率为0.95。

    • image-20210117132313088.png

第四步:求出置信上下限

  • 又因为均值的抽样分布符合t分布。所有我们可以用标准分布求置信区间。

    • image-20210117134217566.png
    • 先求标准分Z

      • image-20210117134359046.png
      • 其中Z~N(0,1)

    • 用μ改写不等式

      • image-20210117135031540.png
      • image-20210117135541957.png
    • 最后求
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      的数值

      • image-20210116121341868.png

        指的是样本均值的分布,于是我们可以用来自曼帝糖果公司样本的均值的值

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