小升初考这个？怎么可能！

最近不知道从哪里传出来一道所谓江苏省小升初的数学题，如上图所示。看似用那种小学式的面积的加加减减就能算出结果，实际则不然。考虑更一般的情况如下图所示。

设有大小两圆，小圆圆心为 $O$ ，半径为 $r$ ，大圆圆心为 $P$ ，半径为 $R$ （ $0 < r < R$ )。设圆心距 $|OP| = d$ ，公共弦为 $EF$ 。我们先考虑 $O, P$ 在 $EF$ 同侧的情形（即 $0 < d < \sqrt{R^2 - r^2}$ ，正是图示情形)。我们感兴趣的是标记为红色的两条劣弧之间的面积，记为 $S$ 。连 $PO$ ，并延长其交 $EF$ 于 $G$ 。显然 $PO \perp EF$ 且 $G$ 为 $EF$ 之中点。记 $\alpha = \angle GPF, \beta = \angle GOF$ 。

在 $\triangle OPF$ 中用余弦定理，得到

$\alpha = \arccos \dfrac{d^2 + R^2 - r^2}{2dR}$

于是 $|GF| = R\sin\alpha$ ，因此

$\beta = \arcsin\dfrac{|GF|}{|OF|} = \arcsin\dfrac{R\sin\alpha}{r}$
另外 $|OG| = r\cos\beta, |PG| = R\cos\alpha$ ，此二者的差为 $d$ 。

故
$S_{\triangle OFE} = |OG| \times |GF| = Rr\sin\alpha\cos\beta$
$S_{\triangle PFE} = |PG| \times |GF| = R^2\sin\alpha\cos\alpha$

而劣弧 $OFE$ 和 $PFE$ 对应扇形面积分别是
$S_{扇形 OFE} = \beta r^2, S_{扇形 PFE} = \alpha R^2$

因此，两个弓形面积分别是
$\displaystyle{ S_{弓形 OFE} = \beta r^2 - Rr\sin\alpha\cos\beta \\ S_{弓形 PFE} = \alpha R^2 - R^2\sin\alpha\cos\alpha}$

于是

$\color{#FF0000}{ \begin{array} & S &=& S_{弓形 OFE} - S_{弓形 PFE}\\ &=& \beta r^2 - \alpha R^2 + R\sin\alpha \left( R\cos\alpha - r\cos\beta \right)\\ & = & \beta r^2 - \alpha R^2 + Rd\sin\alpha \end{array} }$

回到原题，知道 $R = 10, r = 5, d = 5\sqrt{2}$ ，可以计算
$\alpha = \arccos \dfrac{5}{4\sqrt{2}} = \arcsin \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{7}{2}} = \arctan\dfrac{\sqrt{7}}{5}$
$\beta = \arcsin (2 \sin\alpha) = \arcsin \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{7}{2}}=\arctan{\sqrt 7}=\arccos\frac{1}{2\sqrt 2}$

因此
$S = 25\left(\arctan\sqrt 7 - 4\arctan\dfrac{\sqrt{7}}{5} + \dfrac{\sqrt 7}{2}\right)$

所求阴影部分面积为
$2S = 25\left(2\arctan\sqrt 7 - 8\arctan\dfrac{\sqrt{7}}{5} + \sqrt 7\right) \approx 29.28$

由于最后的解包含反三角函数，所以寻常小学生没办法求取这个精确值，而具备高中知识的人是完全可以搞定上面推理计算的。对于其他圆心距取值范围，亦可做类似的计算。

对于本题，可以考虑更粗暴的方法。如下图建立笛卡尔坐标系：

两圆方程为
$x^2 + y^2 = 25, x^2 + (y + 5\sqrt 2)^2 = 100$
联立解出交点 $E, F$ 横坐标是 $\pm \dfrac{5}{2} \sqrt{\dfrac{7}{2}}$ 。对于两条红色的劣弧，可以分别表示成函数

$f(x) = \sqrt{25 - x^2}, g(x) = \sqrt{100 - x^2 } - 5\sqrt{2}$

在 $E, F$ 之间的图像。因此

$S = \int_{-\frac{5}{2}\sqrt{\frac{7}{2}}}^{{\frac{5}{2}\sqrt{\frac{7}{2}}}} \left[ f(x) - g(x) \right]\mathrm{d}x$

只需利用积分
$\int \sqrt{a^2 - x^2} \mathrm{d}x = \dfrac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a} + C$
即可计算出同样的结果。

最后，有一点值得注意。如果原题中的阴影部分包含“橄榄球形”边上的那四个窄小区域，那么这题目就真的可以作为小升初的题目了。你会做了吗？

思考题

试对圆心距 $d$ 处于其他范围的情形讨论 $S$ 如何定义和计算。

$d = \sqrt{R^2 - r^2}$ ；
$\sqrt{R^2 - r^2} < d < R - r$ ；
$d = R - r$ ；
$R - r < d < R + r$ 。

最后编辑于：2019.06.22 19:40:51