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机械振动是世界上普遍存在的，无论是秋千、健身器材，还是高楼被风吹动的摇摆，一直影响到离入海口很远的潮汐，甚至于人本身的心跳和激素波动，都是机械振动的一种形式。

机械振动在物理上有着重要的意义，它是物质运动的主要存在形式，在数学上表现为二阶齐次线性微分方程的解。下面，将从数学和物理的分析角度，对机械振动及其衍生的问题进行分析。

无论是河流的潮汐还是各种工程的建设，都是机械振动的体现和运用

机械振动中最简单的简谐运动涉及到一个弹性的回复力。根据胡克定律，这个弹性的回复力的大小与相对于初始位置的位移成正比，方向与位移相反，表示为

，k为振动系统的劲度系数，它与回复力的施力物体的性质有关。又由牛顿第二定律得

，即

，

，因此可以化为二阶线性齐次微分方程

。

解二阶线性齐次微分方程，是研究本篇研究的及第2篇将要研究的运动的基础。

对于上面形式的二阶线性齐次微分方程，可以通过证明得到，当

时，

，

，于是就可以把r提取出来，把二阶线性齐次微分方程化为

这样的一元二次方程来求解。根据一元二次方程的定义，可以得到两个共轭虚根

。这两个根对应原方程的两个特解，因此可以推出

，由欧拉公式得

，因此可以得到通解

。

余弦（或正弦）振动本质就是没有一阶项的二阶线性齐次微分方程的通解

为了更加清晰地体现这种运动的特征，令

，

，

，即可把通解变换为

。这就是最简单的机械运动，也就是简谐运动的运动方程。其中的x表示相对于初始位置的位移，A表示振幅，ω表示角频率（也就是角速度，由此可得周期

，频率

），φ表示初相（也就是开始的时候对应的角位置）。

又由于ω只与劲度系数k和物体的质量m有关，所以周期和频率只与振动系统自身的物理性质有关。在没有阻力的情况下，周期和频率也可以被称为固有周期和固有频率。但有阻力的情况下周期和频率不等于固有周期和固有频率，将在第2篇中谈及。

对这个运动方程进行求导，即可得到速度

，加速度

，因而有当相对于初始位置的位移最大时，速度为0，加速度最大，为Aω^2，且方向与位移方向相反；当回到初始位置时，速度最大，为Aω，加速度为0。

因此，根据动能定理可以计算出运动的动能为

，振动的势能为

，因此总机械能为

。过程中只有弹性回复力这一保守内力做功，所以机械能守恒，即只有动能和振动的势能之间的转化。

由于简谐运动机械能守恒，所以其能量能不衰减地传下去

这就是简谐运动的振动规律，运动的对象在没有其他阻力的情况下，按照某个特定的余弦（或正弦）周期不停息地做往复运动。

这种运动是机械运动中最简单，也最理想的一种。在足够长的时间里，它会一直保持着最初的周期、频率和振幅。在现实世界中，钟的摆动，风吹过树枝的摇动，入海口附近河流的涨落，甚至走路的发辫的摇动，人的心跳节律，在理想状态下都可以看成简谐运动。

简谐运动在生活中有很多近似的例子，但由于外界阻力总存在，所以完全的简谐运动几乎不存在，详见第2篇

但是在现实世界中看到的简谐运动往往不是由单一的简谐运动组成的，例如我们日常听到的音乐，大戏，雷雨声都是由多个声音的简谐运动合成而来的。简谐运动的合成，又涉及到什么样的数学变换呢？

灯光里奏出的音乐、大戏的锣鼓、钢琴的乐音、云层间的闪电，都涉及到简谐运动的合成

根据三角恒等变换的规则，对于多个简谐运动，可以得到位移

，其中当频率相同时，

，其中

，

，这个过程可以把每一个简单简谐运动的位移看成是一个矢量Ai，Ai的合成的大小即为振幅的大小A。所以当所有的简单简谐运动之间的相位差恰为2π的整数倍时，A最大，为

，若它们的相位差之和恰为2π的整数倍时，所有振幅被抵消，A为0。

当两个振幅相同，频率和初相不同的简单简谐运动合成时，位移

，可以化为，

，其中

，

，

。可见，这是一个合振幅随着时间的变化而变化的简谐运动，其角频率恒定为

，但因为余弦函数的绝对值的周期为π，故其频率为

。与此同时，也可以得到合振幅的变化角频率为

，频率为

，初相为

。

这种现象被称为拍。其中频率

被称为拍频，它代表着对于两个振幅相同、频率和初相不同的简单简谐运动来说，每两次相位相差

之间需要经过

的时间（即周期）。当两个简单简谐运动的初相相同时，表示合振幅的最大值和最大值（或最小值和最小值）之间经过的时间。

在现实世界中，当两频率之差远小于两频率之和时，就会出现这种简谐运动频率时而增大，时而减小的拍现象。例如两个音色和频率相近的人唱歌的时候，就会听到这样的时而强时而弱的现象。

拍现象可以应用于对速度、距离、声音传播的测量

到这里，简单简谐运动的合成可以推广到更为一般的情况，此时

，其中

，

，

，

。

其运算的原则是遵循向量相加的原则，即把运动方程视为一个模长为振幅（A），方向为相位角（ωt+φ）的向量x，按向量的加法原则对运动相加，通过这种方法可以合成方向相同的有限多个简单简谐运动。不过当简谐运动的合成越来越复杂的时候，其振动也越来越无规律，体现在如噪声的发生上。

当千万人的身体运行作简谐运动时，运动的波形就会无穷叠加为复杂的波，详见第3篇

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但是，这种理想的状态只能在外界阻力相对影响微乎其微（如氢原子的振动、足够宽阔的海洋的潮汐、万有引力对时空的扭曲传播等）的情况下实现。大多数的机械振动，都是在有阻力的情况下发生的，这种运动被称为阻尼运动。

阻尼运动比简谐运动更加普遍，高层建筑的抗风装置（如Canton Tower 110层的阻尼器），轨道交通设置的隔音屏和减震道床应用了阻尼运动，日常生活中吊起来的物件在足够长时间内震动幅度会越来越小，香蕉砍下来的过程中树的摇动会越来越小，是阻尼运动的表现。

大部分的机械振动都是阻尼运动的应用和体现

阻尼运动涉及到的力除了前述的弹性的回复力之外，还有一个与运动速度成正比的阻力，可以表示为

，因此由牛顿第二定律可以推出

，即

，根据1中给出的二阶线性齐次微分方程的解法可得

，对应的特征方程为

。

上述特征方程的Δ值（即

）与0的关系，将区分下面的三种阻尼运动。为了后面的表述方便，在此令

，

，此时Δ可以写成

，特征方程可写成

。

若

，则方程的两个共轭复根为

，即

，

,

，由此得到通解为

，令

，

，

，则运动方程可以写成

。

因此由运动的速度

，运动的加速度

得到动能为

，势能为

，运动的总能量为

。这种运动的能量随时间的推移以指数函数的速度衰减，这表现在地铁行驶时，振动的强度随着运动的进行（或振动的波的传递时间延长）而逐渐减弱等现象。这种现象也是机械波衰减的形式，将在第3篇中涉及。

在现实当中，机械振动的能量会以指数函数的速度衰减，所以当运动的发生者远离观察者时感受会越来越弱

这种运动被称为欠阻尼运动，是机械振动中最普遍的一种。例如自然状态下秋千的摆动，轮船激起的浪花的衰减，跳水者入水的水面变化，风对机翼的吹动等都属于欠阻尼运动。其与简谐运动不同在于，振动的频率减少为

，振动的周期拉长为

，运动的振幅会随着时间变化为

，所以其运动的振幅会随时间的进行而呈指数级别衰减，一直到足够长的时间，其振幅接近于0。

欠阻尼运动是简谐运动在现实世界的一般形式

若

，则特征方程的两个实根为

，即

，

，

。

对运动方程求导可得速度为

，加速度为

。可得运动的动能与振动的势能变化为

，

，即机械能变化为

。由此体现，由于非保守的阻力做功很大，所以其能量消耗很大，机械能的减小的速度很快。尤其当β远大于ω时，机械能大量转化为内能，造成很大的损耗。

车辆的刹车、飞行器的减速、自动门关闭开启过程本身就是一种耗能过程

这种情况被称为过阻尼运动，和之前所述的不一样的是，由于阻力比回复力更大，过阻尼运动不会发生周期性的运动，其位移以指数的速度缓慢递减直到0。在现实世界中，例如极限运动的保护装置，自动门的关闭或大风吹动的大门，以及船桨回复推动摇橹船前进等都用到过阻尼运动，其被广泛用于多种减速、缓冲或提供反作用力的场景中。

船桨的摇橹，铁门的自动关闭，滑索的减速都是过阻尼运动的运用

若

，则特征方程有两个相等的实根，为

，即

，由于实际上只有一个特解，需要寻找与x1，x2线性相关的特解，将其代入原方程可得

，又由

，

，代入得

。由上述可得，u’(t)项和u(t)项总为0，因此化简可得

，两次积分可得

，当C1=1，C2=0时，u(t)的一个特解为

，因此可以得到原方程的通解为

。

对运动方程求导可得速度为

，加速度为

，运动的动能与变化为

，

，机械能变化为

。这是恢复到稳定状态最快的方式。因为此时物体恰不能做周期运动，只经过一次振幅最大的点即以指数函数的递减速率回到稳定位置，此时机械能均匀地从最大减小到0。

对于存在阻力的机械振动，当阻力增大到恰好在一个周期内回复到原来的位置，即为临界阻尼运动

这种运动被称为临界阻尼运动，这是最理想的阻尼运动，它能在最短的时间内即回到平衡位置。摄影中云台的增稳，仪表指针的稳定，户外运动下降的保护垫，飞机降落时起落架的减震装置等在环境最理想的条件下趋向于临界阻尼运动。

临界阻尼运动体现在拍摄的增稳模式及器械的调节指针上

为了表述方便，往往用

表示机械振动的类型的参数，ζ=0时，机械振动表示为简谐运动，0<ζ<1时，机械振动表示为欠阻尼运动，ζ=1时，机械振动表示为临界阻尼运动，ζ>1时，机械振动表示为过阻尼运动。它们是二阶线性齐次微分方程对应的一元二次特征方程有2个共轭虚根，共轭复根，不等实根，二重实根的4种情况的通解的体现。其中简谐运动和临界阻尼运动是理想化的情况，大多数的机械振动都倾向于欠阻尼运动或过阻尼运动。

随着阻力越来越大，机械振动形式也不相同，但前提是运动的对象不能有不可逆的形变，在第3篇中会涉及

为什么简谐运动和临界阻尼运动是一种理想化情况？因为当对运动的对象作用的非保守外界阻力从0渐渐增大的时候，其每个周期的振幅衰减和周期的延长也会越来越显著。一直到ζ=1时，周期消失了，此时对象刚好在1次振动内回到稳定的位置。但当外界阻力继续增大，其机械能损失更大，动能减少更加导致速度的减小，使得需要更长的时间才能回到稳定的位置。

所以ζ=1和ζ=0的情况在机械振动的现实应用上有很大的意义，在需要减少振动的周期性的地方，尽可能让ζ趋向于1。在希望利用振动的周期性的时候，尽可能让ζ趋向于0。

3

上述的四种机械振动的能量传播是机械振动的衍生

其中的简谐运动和欠阻尼运动，通过机械波的方式不断向外传播。其分为横波和纵波，区别在于振动的方向与波的传播方向是垂直还是平行。其中横波一般只能在固体中传播，纵波可以在固体、液体或气体传播。

例如绳子产生的机械波只能在绳子上传播，而渔船发动机的声音能在一切有介质的地方传播

在此规定机械波相邻的相差2π相位的两个点的距离被称为波长，用λ表示。并规定波长的距离与周期的比为波速u，表示为

或

以描述机械波的传播。

对于机械波而言，若其从w0点开始传播，则对于传播方向上的某一点w而言，在求该点振动方程时需把振动方程中的t替换为

，因为在这一点上，只有当机械波走过

的时间长度后才开始振动。

由于简谐运动和欠阻尼运动的周期都是不变的，所以它们只有波长和波速的相应变化。经过替换之后的振动方程，也被称为机械波传播的波函数。

通过对同一点不同时刻的振动的观察可以得到，当w一定的时候，x仅为t的函数。通过对同一时刻不同点的振动的观察可以得到，当t一定的时候，x仅为w的函数。于是绘制波形图可以得到，对于机械波传播路径上的某一点w2，相对于传播路径上在其之前的某一点w1，相应地落后

个相位。

而当w和t都变化的时候，由于

，因此，在足够小的dt时间和足够小的dw传播路程里，机械波传播到了

的相位，而由于dw=udt，因此机械波的传播实质就是相位在时间上的传播，就像海浪或声音一样。当t和w都变化时，这种机械波被称为行波。

上面只分析了机械波在一个方向上的传播，而现实世界中的机械波不仅是行波而且机械波会充满波源周围存在介质的整个空间

过阻尼运动和临界阻尼运动回复到稳定位置都需要一个周期，其产生的机械波是机械能的衰减过程中机械能转化为其他形式能量引起新振动的过程。临界阻尼运动回复到稳定位置的速度更快，从机械波的角度体现在临界阻尼运动的机械波能以指数函数速度转化为新振动，进而在最短时间释放机械能。

过阻尼运动和临界阻尼运动的机械波可以看成是它激起的简谐运动或欠阻尼运动的机械波

当两束简谐机械波（或所有的余弦（或正弦）波）从两个正交方向相遇的时候，就会在示波器上产生李萨如图形。它不仅美观，而且能够更加直观地计算未知的波的频率和相位差。

李萨如图形计算波的频率是通过示波器上x方向和y方向上的与坐标轴平行线相切的点数决定的，它们之间有这样的关系：

，通过这个关系就可以通过已知的波的频率计算未知的波的频率，以及从形状的扁和饱满去推两束波的相位差。

波的频率比为不同的简单整数比时的李萨如图形

当波的频率比为1：1的时候，李萨如图形为一个椭圆，且当相位差趋向于kπ,k∈Z时，图形趋向于一条直线，当相位差趋向于kπ+π/2,k∈Z时，图形趋向于圆，当波的频率比为1：3等都是奇数的比例时，当相位差趋向于kπ,k∈Z时，图形显现出来比较扁，当相位差趋向于kπ+π/2,k∈Z时，图形趋向于饱满，当波的频率比为1：2、2：3等一个为奇数一个为偶数的比例时，当相位差趋向于kπ,k∈Z时，图形趋向于饱满，当相位差趋向于kπ+π/2,k∈Z时，图形显现出来比较扁。

但整体来说，随着比例系数的增加，图形渐渐从简单的椭圆形，蝴蝶形，螺旋形、心形向网格形演变，当频率比趋向于更大的有理数时，李萨如图形趋向于充满整个区域的密密麻麻的网格形。

当波的相位差趋向于kπ,k∈Z时，李萨如图形趋向于过中心点。而当波的频率比为都是奇数的比例时，图像趋向于中心对称，且由于相位差小，两个正交方向的波的位移基本相同，因此图形较扁。而当波的频率比为一个为奇数一个为偶数的比例时，图像趋向于沿偶数比例系数的轴线对称，此时，除非相位差为2πk,k∈Z，否则因为其中一个波两次到达相同位移时，另一个波总能有明显的相位差，所以能显现出比较饱满的图形。

当波的相位差趋向于kπ+π/2,k∈Z时，情况与上述相反。这是相位差在李萨如图形上的反映。

在观察中，李萨如图形往往是不稳定的，因为两个正交的波的相位差不总是恒定的。当观察到稳定的李萨如图形时，可以计算波的频率和稳定的相位差。

李萨如图形体现在现实世界就是参数为余弦（或正弦）的二次曲线

四种机械振动产生了振动的机械波，它们是机械能的传播和衰减的反映。因为有了机械波的产生，人类得以从波的角度研究世界的运动，例如声音的传播，风吹动高楼的振动等。也可以阻止波的产生，例如用回复力弱的船桨摇橹，以获得更大的力量。

机械波能传播信息，能推动能量前进，也可以改造客观存在

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思聪听见电台滚动播放的《我笃信你》原创组歌。他发现在解释数学与物理上的机械振动的时候，也可以把机械振动推广到更多的领域。

例如2020年的春天打破平静的那阵命令

信仰和追求是机械波在人类世界的一种展现形式。它是人的思维上的一种振动，它通过对已有的实践的探索，形成一种意识上的内化。这种意识上的内化体现在神经系统中的电信号的阻尼运动，以及神经触发的兴奋的机械振动。进而是思维上的振动通过各种信息流对不同个体的共振，以至于一种集体的共振。

集体的共振体现在集体生活里共同的体会

当不同个体神经系统里形成接近的兴奋，体现在脑海里接近的形态时，意识形态上的共同理想和追求就逐步形成了。当追求成为一种为之实践，矢志奋斗的目标的时候，就是信仰。信仰的力量是巨大的，可以想象为大量的个体在以相近的振幅、频率、相位差传播着思维的机械振动产生的衰减极小的机械波，其能量可想而知。

因为信仰的力量是思想共振的力量，是人类个体主观能动性的叠加，所以它的能量足以影响一切。

千万人聚成的信仰的力量是可以改变一切的

机械振动还展现在一个城市、一个国家的振动脉搏中。在不同的时代里，不同的回复力和阻力都在改变着振动的幅度、频率、相位或振动的形式。例如在《我笃信你》原创组歌当中，珠江的潮汐带来的时间线发展一直作为整个组歌的当中回复力的来源，相当于机械振动的振动源。而不同时代的客观存在的问题，相当于阻力的存在，它让机械振动减弱或加强（加强体现在阻力（即《机械振动与其衍生的.2》中的β）为负数的情况，加强的具体表现根据β的绝对值不同体现为文中的三种情况），改变脉搏的强度，进而改变发展的前途。

河流的潮汐不是完全理想的机械振动，万有引力、河床的阻力、风、流速都在影响着它的律动，所有领域的机械振动都一样

由于各种不同的阻力的影响，所有领域的机械振动的影响因素都很复杂，物理的应用上，航空器机翼的振动、施工的噪音、悬索桥的钢索振动都受到多种外部因素的影响。而人类社会发展的脉搏，由其中物理的机械振动和人类社会自身发展的机械振动（人类社会内部矛盾之间的变化等）所影响。

物理上的机械振动成因复杂，人类世界的机械振动更是前者和社会发展主观因素的叠加

思聪到这里终于认识到，如《我笃信你》原创组歌中唱出的时代气魄一样，为什么100年来，广州这座城市，以至于整个国家的人民，能走出历史周期律，不断迈向新高度，新里程。

在历史的发展中，如果没有改变的力量，相似的事情会周期性地发生。当出现改变的力量的时候，就像阻尼运动（阻力可以是负的，和上面一样）一样，周期会渐渐变长，振幅随之逐渐改变。直到力量超过了历史固有的回复力量时，周期消失了，因此走出了不同的道路。这种力量，就是担当，就是勇气。

所以在珠江潮汐的共振、城市建设者的不懈奋斗中，发展的机械振动的周期渐渐地被理想的实现力量变长，进而量变引起质变，走上了指数增长的道路。这就是《我笃信你》原创组歌中的精神内涵，把城市的历史和过往赋予新的含义，并在新的征程中一往无前地奔跑。

当主观能动改变机械振动的力量越来越大的时候，它就会以指数函数的速度走向历史从未到过的地方

人类发现了机械振动，然后用运动学的方式和微分方程的数学工具分析了机械振动的四种形式，并从机械振动的能量传播中看到了机械波的世界。思聪在学习之余，把机械振动的四种形式以及机械波和它的空间叠加逐步地从书本上推出，并把机械振动引入到人类社会的发展，尤其体现在广州在这百年大潮中的脉搏振动的机械波。

《我笃信你》原创组歌随着这个红色年份的意义飘向了不同角落。作为广州这座城市发展的见证者，思聪在记录机械振动对城市的改变的同时，也在通过机械波和电磁波传播自己的思考与见解，在发展的机械振动的叠加场中创造属于自己，属于新一代的时代脉搏。它与奔腾不息的珠江潮汐，推动时代以指数级别奔跑的创造力一起，让这座城市走在时代的前沿，不断出新出彩，谱写更灿烂的画卷。

四种机械振动在物理上的表现促进了这座城市发展，在思聪这一代人上，是与时代共振，谱写新篇

参考资料

《物理学教程》马文蔚、周雨青编，高等教育出版社

《高等数学》方明亮、古定桂主编，科学出版社

https://zhuanlan.zhihu.com/p/40823585

https://zhuanlan.zhihu.com/p/134176474

佚名.也谈阻尼振动的周期和频率

知乎问题：为什么临界阻尼比过阻尼衰减快

王惠明，庄表中，李振华.关于有阻尼系统中的阻尼与应用.振动与冲击.2010,29(05)

《大学物理实验》刘金龙、李海主编，中国农业大学出版社

王公正，闫晓敏，崔晓燕.广泛李萨如图形的形成原理和特性.应用光学,2010,31