向量空间的和与集合的并

《线性代数应该这样学》习题2.C 17.

上面的题目很容易就能找到一个反例，如 $U_1=<(1,0,0)>, U_2=<(0,1,0)>, U_3=<(1,1,0)>$ 。

在此，我想记录一点小想法：关于为什么公式不成立。

我们知道对于集合有容斥原理，
$\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$
从上述两个集合的公式加上集合的运算定律也可以推得三个集合的公式，
$\begin{align*} \text{card}(A \cup B \cup C) &= \text{card}(A \cup B)+ \text{card}(C) - \text{card}((A \cup B) \cap C) \\ &= \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) + \text{card}(C) - \text{card}((A \cap C)\cup (B \cap C)) \\ &= \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) + \text{card}(C) - \text{card}(A \cap C) -\text{card}(B \cap C) + \text{card}((A \cap C) \cap (B \cap C) ) \\ &= \text{card}(A) + \text{card}(B) + \text{card}(C) - \text{card}(A \cap B)- \text{card}(A \cap C) -\text{card}(B \cap C) + \text{card}(A \cap B \cap C ) \end{align*}$
如果我们草率的模仿上述过程推导三个向量空间的和的维数公式是不合适的。

这是因为上面用到了集合的运算定律： $(A\cup B)\cap C=(A \cap C)\cup (B \cap C)$ 等。但这些运算定律是争对交并补运算的，在子集/子空间的和运算中是没有这样的运算定律的。如，令 $A=U_1,B=U_2,C=U_3$ ，衍生出的“运算定律” $(A+B)\cap C=(A\cap C)+(B \cap C)$ 显然是错误的。

归根结底，和运算与并运算仅仅是看起来相像。两个向量空间的和可以使得一个原本不在他们里面的某个元素，变得在他们的和空间里面；但是集合的并不能做到这样的事情。

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