2017年文科数学全国卷C题19
如图，四面体 中，
是正三角形，
（1）证明： ；
（2）已知 是直角三角形，
，若
为棱
上与
不重合的点，且
，求四面体
与四面体
的体积比.
2017年文科数学全国卷C
M为AC中点
【解答第1问】
作 中点
，并连接
.
∵ , ∴
同理可证：
∴ 平面
, 而
平面
, ∴
.
【解答第2问：思路一】
连接 .
∵ 平面
, 而
平面
, ∴
. 又∵
, ∴
.
∵ ,
,
,
, ∴
. （两个等腰直角三角形的斜边都是
）
∴
∵ ,
∴ ,
∴
又∵ , ∴
∴ , ∴
.
【解答第2问：思路二】
∵ ,
, ∴
∴
∵ , ∴
∴
又∵ , ∴
, ∴
, ∴
∵ , ∴
, ∴
∴ , ∴
∴ , ∴
.
【提炼与提高】
面积与体积是几何学的基本问题。
体积比可以转化为面积比；面积比可以转化为线段长度比。灵活应用这种转化可以解决很多问题。
四面体的体积公式看起来平淡无奇，在实际应用中却是灵活多变。需要在解题过程中细细品味。
【回归教材】
本题第1问是一个经典的问题，在高考中多次出现。参见：人教版《数学-必修2》§2.3.2 练习1（p67）.
【相关考题】
以下考题所用模型与本题相似。请注意比较。
2007年文科数学海南卷题18
