立体几何之目：2017年文科数学全国卷C题19

2017年文科数学全国卷C题19

如图，四面体 ABCD 中，\triangle ABC 是正三角形，AD=CD.

（1）证明：AC \perp BD ；

（2）已知\triangle ACD 是直角三角形，AB=BD ，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE \perp EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比.

2017年文科数学全国卷C
M为AC中点

【解答第1问】

作 AC 中点 M，并连接 MD,MB.

∵ AD=CD,MA=MC, ∴ DM \perp AC

同理可证：BM \perp AC

BM \perp AC,DM \perp AC, DM \cap BM=M

∴ AC \perp 平面 DMB, 而 BD \subset 平面 DMB, ∴ AC \perp BD.

【解答第2问：思路一】

连接 ME.

∵ AC \perp 平面 DMB, 而 ME \subset 平面 DMB, ∴ AC \perp ME. 又∵ MA=MC, ∴ EA=EC.

∵ \angle ADC=\angle AEC=90°, AB=BD, EA=EC, AC=AC, ∴ \triangle DEC \cong \triangle EAC. （两个等腰直角三角形的斜边都是AC ）

∴ MD=ME

∵ MD=MA,AB=BD,MB=MB,

∴ \triangle MAB \cong \triangle MDB,

∴ \angle MDB=60°

又∵ MD=ME, ∴ DE=MD=ME=MA=\dfrac{1}{2}AB

∴ S_{\triangle DME}=\dfrac{1}{2}S_{\triangle DMB}, ∴ V_{ABCE}=V_{ACDE}.

【解答第2问：思路二】

∵ BA=BC=BC, DA=DC, ∴ \triangle DBA \cong \triangle DBC

∴ \angle BDA = \angle BDC

∵ AD=CD,\angle BDA = \angle BDC,DE=DE, ∴ \triangle DEA \cong \triangle DEC

∴ EA=EC

又∵ \angle AEC=\angle ADC=90°, AC=AC, ∴ \triangle EAC \cong \triangle DAC, ∴ EA=DA, ∴ \angle DEA=\angle EDA

∵ AB=BD, ∴ \angle EDA = \angle DAB, ∴ \triangle AED \sim \triangle BDA

∴ \dfrac{DE}{DA}=\dfrac{DA}{AB}, ∴ DE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}BD

∴ S_{\triangle DME}=\dfrac{1}{2}S_{\triangle DMB}, ∴ V_{ABCE}=V_{ACDE}.

【提炼与提高】

面积与体积是几何学的基本问题。

体积比可以转化为面积比；面积比可以转化为线段长度比。灵活应用这种转化可以解决很多问题。

四面体的体积公式看起来平淡无奇，在实际应用中却是灵活多变。需要在解题过程中细细品味。

【回归教材】

本题第1问是一个经典的问题，在高考中多次出现。参见：人教版《数学-必修2》§2.3.2 练习1（p67）.

【相关考题】

以下考题所用模型与本题相似。请注意比较。

2007年文科数学海南卷题18

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