立体几何之目~等积变换实例:2018年文科数学全国卷A题18

2018年文科数学全国卷A题18(12分)

如图,在平行四边形 ABCM 中,AB=AC=3\angle ACM=90°.以 AC 为折痕将 \triangle ACM 折起,使点 M 到达点 D 的位

置,且 AB \perp DA.

(1)证明∶平面 ACD \perp 平面 ABC;

(2)Q 为线段 AD上一点,P 为线段 BC 上一点,且 BP=DQ=\dfrac{2}{3}DA,求三棱锥 Q-ABP 的体积.

2018年文科数学全国卷A

【解答第1问】

\because AB \perp DA, AB \perp AC, DA \bigcap AC=A

\therefore AB \perp 平面 ACD

\because AB \subset 平面 ABC

\therefore 平面 ACD \perp 平面 ABC. 证明完毕.


【解答第2问】

体积比可以化为面积比

注意以下几个四面体的联系:

Q-ABPQ-ABC 是共高四面体,所以 V_{Q-ABP}:V_{Q-ABP}=S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ABC}

Q-ABCD-ABC 是共高四面体,所以: V_{Q-ABC}:V_{D-ABP}=S_{\triangle QAC}:S_{\triangle DAC}

S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ABC}=BP:BC=2:3

S_{\triangle QAC}:S_{\triangle DAC}=QA:DA=1:3

V_{D-ABC}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} \times DC \times CA \times AB

V_{Q-ABP}=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} \times 3 \times 3 \times 3=1


提炼与提高


利用四面体的共高关系,可以把体积比转化为面积比;利用三角形的共高关系,可以把面积比转化为线段比。

本题应用这种转化的策略来求解,就显得简洁优雅。另一条思路:先求出四面体的高和底面积,再直接用体积公式求解。当然也是可以的,但是计算方面就略显麻烦。

关于转化策略,在下文中有更详细说明:
用初中数学破解高考数学题:如何用面积公式实现转化?


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