立体几何之目~等积变换实例：2018年文科数学全国卷A题18

2018年文科数学全国卷A题18（12分）

如图，在平行四边形 ABCM 中，AB=AC=3，\angle ACM=90°.以 AC 为折痕将 \triangle ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位

置，且 AB \perp DA.

（1）证明∶平面 ACD \perp 平面 ABC;

（2）Q 为线段 AD上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ=\dfrac{2}{3}DA，求三棱锥 Q-ABP 的体积.

2018年文科数学全国卷A

【解答第1问】

\because AB \perp DA, AB \perp AC, DA \bigcap AC=A

\therefore AB \perp 平面 ACD

\because AB \subset 平面 ABC

\therefore 平面 ACD \perp 平面 ABC. 证明完毕.

【解答第2问】

体积比可以化为面积比

注意以下几个四面体的联系:

Q-ABP 与 Q-ABC 是共高四面体，所以 V_{Q-ABP}:V_{Q-ABP}=S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ABC}

Q-ABC 与 D-ABC 是共高四面体，所以： V_{Q-ABC}:V_{D-ABP}=S_{\triangle QAC}:S_{\triangle DAC}

S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ABC}=BP:BC=2:3

S_{\triangle QAC}:S_{\triangle DAC}=QA:DA=1:3

V_{D-ABC}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} \times DC \times CA \times AB

V_{Q-ABP}=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} \times 3 \times 3 \times 3=1

【提炼与提高】

利用四面体的共高关系，可以把体积比转化为面积比；利用三角形的共高关系，可以把面积比转化为线段比。

本题应用这种转化的策略来求解，就显得简洁优雅。另一条思路：先求出四面体的高和底面积，再直接用体积公式求解。当然也是可以的，但是计算方面就略显麻烦。

关于转化策略，在下文中有更详细说明：
用初中数学破解高考数学题：如何用面积公式实现转化？

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