2015年文科数学全国卷A18
如图，四边形 为菱形，
为
与
的交点，
平面
.
（Ⅰ）证明∶平面 平面
;
（Ⅱ）若 ，三棱锥
的体积为
，求该三棱锥的侧面积.
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这个题用几何方法，有两种思路。注意其中的四面体与2016年文数全国卷A的关系。
【解答第1问】
∵ 为菱形，∴
∵ 平面
, ∴
∵ ,
, ∴
平面
又∵ 平面
, ∴ 平面
平面
.
【解答第2问：思路一】
∵ 四边形 为菱形，
，∴
是等边三角形，
.
∵ 平面
, ∴
∴
∴
∵ , ∴
.
设 , 则
,
,
∴ .
,
三棱锥 的侧面积 =
.
【解答第2问：思路二】
PAC是等边三角形
延长 到点
, 并使得
. 再连接
.
∵ 为菱形，
,
， ∴
是等边三角形。
∴
又∵ 平面
, ∴
∴
∴
又∵ , ∴
∴ ,
∴
∵ 四边形 为菱形，∴
, ∴
∵ 是等边三角形,
∴
∴ ,
, ∴
.
以下同思路一。
【提炼与提高】
由1个等边三角形与3个等腰直角三角形围成的四面体，是很常见的一种四面体，在高考中出场率极高。一定要把它玩熟。
这样一个四面体的特点是：有三条棱长度相等，而且两两垂直。它可以认为是从正六面体上切下来的四面体。
它的体积计算也很有意思。以本题为例，我们灵活应用体积公式，迅速地算出 与
的比例关系。这样计算要比勾股定理快。
另外，在本题中本来并没有3个等腰直角三角形。但是有一个特殊的菱形 。这个菱形实际上由两个等边三角形构成。应用其与等边三角形的关系，我们构造出了自己所熟悉的常见四面体。
以后我们会看到，思路二对于其他考题是有参考价值的。
