立体几何之目：2019年全国卷A题12~常用四面体之二

2019年全国卷A题12

12.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，\triangle ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是PA，AB 的中点，\angle CEF=90°，则球 O 的体积为

A.8\sqrt{6}\pi \qquad B.4\sqrt{6}\pi \qquad C.2\sqrt{6}\pi \qquad D.\sqrt{6}\pi

2019年全国卷A题12

【解析】

因为 E，F 分别是PA，AB 的中点，\angle CEF=90°，

所以 EF 是 \triangle PAB 的中位线, EF // PB，PB \perp CE.

又因为 PA=PB=PC，所以 \triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PCA 是等腰三角形，所以 PB \perp AC, PC \perp AB, PA \perp BC,

因为 PB \perp AC, PB \perp CE, AC \cap CE = C, 所以 PB \perp 平面 PAC, 所以 PB \perp PA, PB \perp PC.

因为 \triangle ABC 是正三角形，PA=PB=PC，所以 \triangle PAB \cong \triangle PBC \cong \triangle PAC

所以 PA \perp PC.

所以，\triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PAC 是三个全等的等腰直角三角形. PA=PB=PC=\sqrt{2}

V_{P-ABC}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times PA \times PB \times PC=\dfrac{\sqrt{2}}{3}

三角形ABC与其外接圆

S_{\triangle{ABC}}=\sqrt{3}

记 \triangle ABC 的中心为 Q, 则
PQ=\dfrac{3V_{P-ABC}}{S_{\triangle{ABC}}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}

四面体与外接球的侧视图

四面体 P-ABC 与外接球的关系可以用上面的示意图来表示.

因为 \angle PCG=\angle PQC=90°，所以 \dfrac{PC}{PG}=\dfrac{PQ}{PC}

2R=PQ=\dfrac{PC^2}{PQ}=\sqrt{6}

R=\dfrac{\sqrt{6} } {2}

V=\dfrac{4}{3}\pi R^3 = \sqrt{6} \pi

结论：选项D正确。

【提炼与提高】

这是一道压轴题，虽然是客观题，却具有综合大题的丰富内涵。

考生需要闯过多道关卡，才能把这5分拿到。

核心的部分在于：根据中位线的性质得出线线平行；再由线线垂直得出线面垂直。从而得出我们所熟悉的四面体：由一个正三角形和三个等腰直角三角形构成的四面体。

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