立体几何之目：2019年全国卷A题12~常用四面体之二

2019年全国卷A题12

12.已知三棱锥 $P-ABC$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上， $PA=PB=PC$ ， $\triangle ABC$ 是边长为 2 的正三角形， $E，F$ 分别是 $PA，AB$ 的中点， $\angle CEF=90°$ ，则球 $O$ 的体积为

$A.8\sqrt{6}\pi \qquad B.4\sqrt{6}\pi \qquad C.2\sqrt{6}\pi \qquad D.\sqrt{6}\pi$

2019年全国卷A题12

【解析】

因为 $E，F$ 分别是 $PA，AB$ 的中点， $\angle CEF=90°$ ，

所以 $EF$ 是 $\triangle PAB$ 的中位线, $EF // PB$ ， $PB \perp CE$ .

又因为 $PA=PB=PC$ ，所以 $\triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PCA$ 是等腰三角形，所以 $PB \perp AC$ , $PC \perp AB$ , $PA \perp BC$ ,

因为 $PB \perp AC, PB \perp CE, AC \cap CE = C$ , 所以 $PB \perp$ 平面 $PAC$ , 所以 $PB \perp PA, PB \perp PC$ .

因为 $\triangle ABC$ 是正三角形， $PA=PB=PC$ ，所以 $\triangle PAB \cong \triangle PBC \cong \triangle PAC$

所以 $PA \perp PC$ .

所以， $\triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PAC$ 是三个全等的等腰直角三角形. $PA=PB=PC=\sqrt{2}$

$V_{P-ABC}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times PA \times PB \times PC=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

三角形ABC与其外接圆

$S_{\triangle{ABC}}=\sqrt{3}$

记 $\triangle ABC$ 的中心为 $Q$ , 则
$PQ=\dfrac{3V_{P-ABC}}{S_{\triangle{ABC}}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

四面体与外接球的侧视图

四面体 $P-ABC$ 与外接球的关系可以用上面的示意图来表示.

因为 $\angle PCG=\angle PQC=90°$ ，所以 $\dfrac{PC}{PG}=\dfrac{PQ}{PC}$

$2R=PQ=\dfrac{PC^2}{PQ}=\sqrt{6}$

$R=\dfrac{\sqrt{6} } {2}$

$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3 = \sqrt{6} \pi$

结论：选项D正确。

【提炼与提高】

这是一道压轴题，虽然是客观题，却具有综合大题的丰富内涵。

考生需要闯过多道关卡，才能把这5分拿到。

核心的部分在于：根据中位线的性质得出线线平行；再由线线垂直得出线面垂直。从而得出我们所熟悉的四面体：由一个正三角形和三个等腰直角三角形构成的四面体。

最后编辑于：2021.12.14 09:37:10

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