主题模型为非监督模型，且都需要构造一个矩阵，推测的是隐含的主题或者模式（如偏好）。都会变换出对矩阵中纵横两个维度的，向量的表达，相当于是两个矩阵（低维）。而这个表达可以作为特征进行召回、排序，可以做特征去分类，可以去计算相似度（距离），可以聚类。

输入矩阵往往很大，很稀疏。

1. ALS

ALS 指使用交替最小二乘求解的一个协同推荐算法。其输入是用户的偏好矩阵，来推断每个用户的喜好并向用户推荐适合的产品。ALS是直接去迭代的计算这两个矩阵，使其乘积与偏好矩阵最接近。这个矩阵往往是很稀疏的，在拟合郭冲中，可以降低，矩阵中稀疏值的损失的权值。在训练过程中，两个矩阵交替成为固定的矩阵和更新的矩阵，梯度下降进行矩阵中参数的更新。问题是非凸的，ALS 并不保证会收敛到全局最优解。但在实际应用中，ALS 对初始点不是很敏感，是不是全局最优解造成的影响并不大。

ALS输入为R ，训练 U*V。

ALS的应用中，分为显式反馈和隐式反馈。显式反馈的矩阵取值较多，在应用中即使没有显式反馈，也可以尝试是连续值，或者进行一定的离散化。

显示反馈代价函数中，我理解后面项为正则化项。且实际打分矩阵有很多缺失值，所以仅计算已知打分的重构误差，

显示反馈代价函数

隐式反馈中，会把偏好矩阵转换为0/1进行处理，Pij 。虽然目标矩阵是0/1 ，但是隐式反馈值为0并不能说明用户就完全不喜欢，例如用户可能不知道该物品的存在。另外，用户购买一个物品也并不一定是用户喜欢它，所以需要一个信任等级来显示用户偏爱某个物品（0、1太稀疏）。一般情况下，Rij 越大，越能暗示用户喜欢某个物品，因此，引入变量 Cij，来衡量 Pij的信任度。

信任度

隐式反馈损失函数

可以看出，如果Rij =0 ，也就是对于原来的输入矩阵中缺失的0和本身就是0的样本，其损失的系数是Cij，为1，也就是样本的权值为1。而对于原来输入矩阵中有值的样本，相当于样本的权重大于1，且随着原来rij越大，Rij 本身与Pij=1 更接近，损失的那部分值更应该接近于0，这个样本的权值Cij 也应该更高。也就是说，rij越大，如果拟合的结果并不好。那么惩罚很重，重在样本的信任度和本身其差应该更小。

ALS还是比较强大的，关键在于构造好偏好矩阵，使其准确。

2. LDA 

对于LDA，其输入是由文本构造的分布矩阵，其实也可以是由行为构造的一系列特征（各个维度）。

前提：每个主题会对应一个词汇分布，而每个文档会对应一个主题分布。

文档生成过程：

1.  确定主题和词汇的分布 2. 确定文章和主题的分布

3.  随机确定该文章的词汇个数NN。4.  如果当前生成的词汇个数小于NN执行第5步，否则执行第6步

5. 由文档和主题分布随机生成一个主题，通过该主题由主题和词汇分布随机生成一个词，继续执行第4步       6. 文章生成结束

参数估计：

1. 文章-主题分布和主题-词汇分布都服从多项式分布；参数为φk ，𝛩m 。

参数意义，其中φk ，𝛩m 为要估计的参数，实际主要是φk

2. φk ，𝛩m 都是随机变量，其先验概率分布服从为以α，β为参数的狄利克雷分布，要得到的是两者的后验概率分布。why?

多项式分布和Dirichlet分布是一对共轭分布，计算后验概率有极大的便利！说到底是LDA看中它计算方便。增加了先验概率分布，那么在确定文章与主题分布还有主题与词汇分布的时候，就由先验概率分布先随机生成确定多项式分布的参数。用一个联合概率分布来描述第m篇文章生成过程： 

由以α为参数的的Dirichlet 分布为先验分布随机生成𝛩m，也就是第m篇文章的多项式分布参数。由此参数生成每个主题。由以β为参数的Dirichlet 分布为先验分布随机生成φk，再以此为参数生成单词。

由此可以得到第m篇文章其生成的边缘概率，用极大似然求解即可。然后边缘概率的表达过于复杂。

给定α，β，GIbbs采样得到φk ，𝛩m ：已知先验概率分布和一组document，要得到后验概率分布。

GIbbs采样

LDA里到底采啥：一轮迭代中，为每篇文档里的每一个词重新选择主题，选择的依据是gibbs采样公式。一般在收敛之前，需要跑一定数量的采样次数让采样程序大致收敛，这个次数一般称为：burnin period。我们希望从采样程序中获得独立的样本，但是显然以上的采样过程明显依赖上一个采样结果，那么我们可以在上一次采样后，先抛弃一定数量的采样结果，再获得一个采样结果，这样可以大致做到样本独立，这样真正采样的时候，总有一定的滞后次数，这样的样本与样本的间隔称为：SampleLag。

推断一个新文本的主题分布：

http://blog.csdn.net/aws3217150/article/details/53840029