正则化(Regularization) 线性回归

假设我们的模型是：

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我们可以从之前的事例中看出，正是那些高次项导致了过拟合的产生，所以如果我们能让这些高次项的系数接近于0的话，我们就能很好的拟合了。所以我们要做的就是在一定程度上减小这些参数 θ 的值，这就是正则化的基本方法。我们决定要减少θ3和θ4的大小，我们要做的便是修改代价函数，在其中θ3和θ4 设置一点惩罚。这样做的话，我们在尝试最小化代价时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择较小一些的和。修改后的代价函数如下：

image.png

但是，假如我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征我们要惩罚，我们将对所有的特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度。这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设：

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其中 λ 又称为正则化参数（Regularization Parameter）
注：根据惯例，我们不对 θ0 进行惩罚。经过正则化处理的模型与原模型的可能对比如下图所示：

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如果选择的正则化参数 λ 过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成

h _ { 0 }(x) =θ_0

,也就是上图中红色直线所示的情况，造成欠拟合。
那为什么增加的一项

λ = \sum_{j=1}^{n}θ^2

可以使的值减小呢？
因为如果我们令 λ 的值很大的话，为了使Cost Function 尽可能的小，所有的 θ 的值（不包括

θ_0

）都会在一定程度上减小。但若 λ 的值太大了，那么 θ（不包括

θ_0

）都会趋近于0，这样我们所得到的只能是一条平行于 x 轴的直线。所以对于正则化，我们要取一个合理的 λ 的值，这样才能更好的应用正则化。

对于线性回归的求解，我们之前推导了两种学习算法：一种基于梯度下降，一种基于正规方程。

正则化线性回归的代价函数为：

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{\theta_0}:={\theta_0}-a\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(({h_\theta}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}})x_{0}^{(i)}})

{\theta_j}:={\theta_j}-a[\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(({h_\theta}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}})x_{j}^{\left( i \right)}}+\frac{\lambda }{m}{\theta_j}]

for

j=1,2,...n

对上面的算法中 $j=1,2,...,n$ 时的更新式子进行调整可得：

${\theta_j}:={\theta_j}(1-a\frac{\lambda }{m})-a\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({h_\theta}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}})x_{j}^{\left( i \right)}}$
可以看出，正则化线性回归的梯度下降算法的变化在于，每次都在原有算法更新规则的基础上令 $\theta$ 值减少了一个额外的值。

我们同样也可以利用正规方程来求解正则化线性回归模型，方法如下所示：

image.png

图中的矩阵尺寸为

(n+1)*(n+1)

正则化(Regularization) 线性回归

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