高考数学必会题型1-1直接法求函数的定义域

使用情景：函数 $f(x)$ 的解析式已知的情况下
解题模板：
第一步找出函数 $f(x)$ 每个式子有意义的条件；
第二步列出不等式或不等式组；
第三步解不等式或不等式组，即得到函数 $f(x)$ 的定义域.

例1 求函数 $y=\sqrt{2{{x}^{2}}+5x-3}$ 的定义域.
答案： $\{x|x\geqslant \dfrac{1}{2}$ 或 $x\leqslant -3\}$
解析：要使原式有意义要满足：
$2{{x}^{2}}+5x-3\geqslant 0$
所以 $(2x-1)(x+3)\geqslant 0$
解得 $x\geqslant \dfrac{1}{2}$ 或 $x\leqslant -3$
所以函数的定义域为 $\{x|x\geqslant \dfrac{1}{2}$ 或 $x\leqslant -3\}$
点评：对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即可得到函数的定义域.

变式演练1：求函数 $y=\sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}}$ 的定义域.
答案： $\{x|x > -1或x \leqslant -2\}$
解析：要使原式有意义需要满足： $\dfrac{x+2}{x+1}\geqslant 0$ ，
解得 $x> -1或x\leqslant -2$
所以函数的定义域为 $\{x|x>-1或x\leqslant -2\}$ 。

例2.函数 $f(x)=\sqrt{2{{x}^{2}}+x-3}+{{\log }_{3}}(3+2x-{{x}^{2}})$ 定义域为________.
答案： $[1,3)$
解析：由题意得，函数满足 $\begin{cases}2{{x}^{2}}+x-3\geqslant 0 \\ 3+2x-{{x}^{2}}>0 \end{cases}$ ，
解得 $\left\{ \begin{align} x\leqslant -\dfrac{3}{2}或x\geqslant 1 \\ -1< x<3 \end{align} \right.$ ，
即 $1\leqslant x<3$ ，
所以函数的定义域为 $[1,3)$ .
考点：函数的定义域.
点评：本题主要考查了函数的定义域的求解、一元二次不等式的求解、集合的运算等知识点的综合应用，解答中根据函数的解析式，列出相应的不等式组，求解每个不等式的解集，取交集得到函数的定义域，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题.

变式演练2：若函数 $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+ax+1}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $a$ 取值范围是（）
A． $\left[ -2,2 \right]$ B． $\left( 2,+\infty \right)$ C． $\left( -\infty ,2 \right)$ D． $\left( -2,2 \right)$
答案：A
解析：试题分析：由于函数 $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+ax+1}$ 的定义域为R，
所以 ${{x}^{2}}+ax+1\geqslant \text{0}$ 在R上恒成立，
即方程 ${{x}^{2}}+ax+1\text{=0}$ 至多有一个解，
所以 $\Delta \text{=}{{a}^{\text{2}}}-4\leqslant \text{0}$ ，
解得 $-2\leqslant a\leqslant 2$ ，
则实数 $a$ 的取值范围是 $\left[ -2,2 \right]$ .故选A.
考点：二次函数的图像与性质.

例3.求函数 $y={{\log }_{a}}({{a}^{x}}-1)(a>0 \text{且}a\ne 1)$ 的定义域.
答案：
当 $a>1$ 时，函数的定义域为 $\{x|x>0\}$ ；
当 $0<a<1$ 时，函数的定义域为 $\{x|x<0 \}$ .
解析：要使原式有意义需要满足 ${{a}^{x}}-1>0$ ，
即 ${{a}^{x}}>1={{a}^{0}}$
当 $a>1$ 时， $y={{a}^{x}}$ 是 $R$ 上的增函数，所以 $x>0$ ；
当 $0<a<1$ 时， $y={{a}^{x}}$ 是 $R$ 上的减函数，所以 $x<0$ ；
综上所述，当 $a>1$ 时，函数的定义域为 $\{x|x>0\}$ ；
当 $0<a<1$ 时，函数的定义域为 $\{x|x<0\}$ .
点评：
（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.
（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数 $a$ 的取值范围，一般要分类讨论.

变式演练3：已知函数 $f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt[3]{3x-1}}{a{{x}^{2}}+ax-3}$ 的定义域是R，则实数 $a$ 的取值范围是（）
A． $-12<a\leqslant 0$ B． $-12<a<0$ C． $a>\dfrac{1}{3}$ D． $a\leqslant \dfrac{1}{3}$
答案：A
解析：函数 $f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt[3]{3x-1}}{a{{x}^{2}}+ax-3}$ 的定义域为R，只需分母不为0即可，
所以 $a=0$ 或 $\begin{cases} a\ne 0 \\ \Delta ={{a}^{2}}-4a\times (-3)<0 \end{cases}$
可得 $-12<a\leqslant 0$ ，
故选A。
考点：函数的定义域及其求法．