数学符号

滑动摩擦系数为 $\mu$

对应的代码为
$\mu$

知识点

势能
- 重力势能： $E_p=mgz$
- 弹性势能： $E_p = \frac{1}{2}kx^2$
- 万有引力势能： $E_p =-\frac{GMm}{r}$
保守力的功
- 直观感受：
  - 保守力做功，将使得机械能在系统内部之间转移，而无增减。
  - 外力对系统做功，系统机械能增加。
  - 内部摩擦力做功，系统机械能减少。
- 保守力包括：
- 重力的功： $W=mgz_{初}-mgz_{末}$
- 弹性的功： $W=\frac{1}{2}kv_初^2-\frac{1}{2}kv_末^2$
- 万有引力的功： $W=\frac{GMm}{r_初}-\frac{GMm}{r_末}$
机械能守恒定律
- 条件：外力与内部摩擦力对系统做总功为零
- 合外力为零，机械能守恒吗？请举出反例。
  例：比如两个相向运动，受一对水平上方向相反，大小相同的力作用在
  两个大小相同的橡皮泥上，这整个系统，反而机械能不守恒。
机械能不守恒的处理
使用积分，对目标变量进行处理

例题

例1.

如图所示。 $M$ 处于弹簧原长度处，手托着 $m$ ，使得绳子处于蹦紧状态，整个系统静止。现在松手，让 $m$ 下降 $x$ 的距离。求 $m$ 的速度 $v(x)$ 。

g4280.png

若不计摩擦力，请从功能的角度，分析能量的转移，并列出能量转移方程。
若滑动摩擦系数为 $\mu$ ，请从功能的角度，并分析能量转移方程。

解答：
- 从整个系统来讲，系统只存在重力势能和弹性势能、动能之间进行转化
则： $mgx=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv_{(x)}^2$
弹性势能： $W_弹=W_初-W_末=0-\frac{1}{2}kx^2=-\frac{1}{2}kx^2$
重力势能： $E_势=0-mgx=-mgx$
动能： $E_动=0-\frac{1}{2}mv_{(x)}^2=-\frac{1}{2}mv_{(x)}^2$
则： $v_{(x)}=\sqrt{\frac{2mgx-kx^2}{m}}$
-从整个系统来讲，不仅仅时系统存在机械能之间的转化，也存在着因为摩擦力，
而损失的功。
则： $mgx=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv_{(x)}^2+\mu mgx$
从摩擦力损失的功： $W_f=umgx$
$\therefore v_{(x)}=\sqrt{\frac{2mgx-kx^2-2\mu mgx}{m}}$

机械能守恒(上课笔记部分)

重力做的功： $mgZ_A-mgZ_B$

弹力做的功： $\frac{1}{2}kx^2_A-\frac{1}{2}kx^2_B$

万有引力：（用于处理天体之间的运动）

$(-G\frac{Mm}{r_A})-(-G\frac{Mm}{r_B})$

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当只有重力、弹力、万有引力做功时，整个系统机械能守恒。
当没有摩擦力时，整个系统的机械能守恒，必须 $\color{green}{外力不做功}$ 的时候。
合外力为0 $\neq$ 合外力不做功

例1：根据能量的增减来分析:重力势能减少=动能的增加+弹性势能的增加。

1. 不存在摩擦力： $m_2gd=\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2+\frac{1}{2}kd^2$

根据能量的增减来分析:重力势能减少=动能的增加+弹性势能的增加+摩擦力的产生的热能损失。

2. 存在摩擦力： $m_2gd=\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2+\frac{1}{2}kd^2+\mu mgd$

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