第七讲：机械能守恒定律

数学符号

滑动摩擦系数为 $\mu$

对应的代码为
$\mu$

知识点

势能
- 重力势能： $E_p=mgz$
- 弹性势能： $E_p =\frac{1}{2}kx^2$
- 万有引力势能： $E_p =-G\frac{m_1 m_2}{r_2}$
保守力的功
- 直观感受：
  - 保守力做功，将使得机械能在各物体之间转移，而无增减。
  - 外力对系统做功，系统机械能增加。
  - 内部摩擦力做功，系统机械能减少。
- 保守力包括：
- 重力的功： $W=mgz_{初}-mgz_{末}$
- 弹性的功： $W=\int_{A}^{B} \vec{F} d \vec{r} =\int_{a}^{B} kx(-vec{i} )d\vec （+i ）=\int_{x^A}^{x_B} kx dx(-\vec{i} \cdot \vec{i}) =- \frac{1}{2}kx^2|_{x_A}^{x_B}=\frac{1}{2} kx_A^2-\frac{1}{2} kx_B^2= \frac{1}{2} (2 \Delta l)^2$
- 万有引力的功： $W=W=\int dW=\int_{r_A}^{r_B} G \frac{Mm}{r^2} dr=G \frac{Mm}{r}|_{r_A}^{r_B}=-G \frac{Mm}{r_B}-G \frac{Mm}{r_A}=-G \frac{Mm}{r_A}$
机械能守恒定律
- 条件：外力与内部摩擦力对系统做总功为零
- 合外力为零，机械能守恒吗？请举出反例。
  例如，两块橡皮泥碰撞后粘在一起。

机械能不守恒的处理

例题

例1.

如图所示。 $M$ 处于弹簧原长度处，手托着 $m$ ，使得绳子处于蹦紧状态，整个系统静止。现在松手，让 $m$ 下降 $x$ 的距离。求 $m$ 的速度 $v(x)$ 。

g4280.png

若不计摩擦力，请从功能的角度，分析能量的转移，并列出能量转移方程。
若滑动摩擦系数为 $\mu$ ，请从功能的角度，并分析能量转移方程。

解答： $mgx=\frac{1}{2}(m+M)v^2+\frac{1}{2}kx^2$ (无摩擦时)
$v(x)=\sqrt {\frac{2mgx-kx^2}{m+M}}$

$mgx=\frac{1}{2}(m+M)v^2+\frac{1}{2}kx^2+|W_f|=\frac{1}{2}(m+M)v^2+\frac{1}{2}kx^2+\mu mgx$ (重力势能转化为M和m的动能+弹簧弹性势能+摩擦力做功)
$v(x)=\sqrt {\frac{2mgx-kx^2-2\mu mgx}{m+M}}$

也即，当没有摩擦力并且万有引力不做功时，机械能守恒。（ $合外力不做功\neq合外力为零$ ）

当没有摩擦力且合外力为零（能做功）时，机械能不守恒。