概述

希尔伯特空间是一个完备的内积空间，其标准正交函数系，直观来看就是向量空间中基的延伸。其为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。下文中我们将通过希尔伯特空间的标准正交函数系推导周期函数和有限区间上函数的傅立叶级数表示，并进一步推出傅里叶积分来表示无穷区间的非周期函数，最后引入复数形式的傅立叶积分，引出傅立叶变换。在这一系列推导中，鉴于篇幅，主动略去了一些比较关键的部分，比如 $f(x)$ 可积性及级数收敛性的讨论，有兴趣的读者可以在了解大致原理后，进行细致的理论推导以作补充。为了便于理解希尔伯特空间的概念，引用知乎上面的一段回答：

知乎问答

希尔伯特空间

若无限维酉空间 $V$ 中每个基本序列收敛于V中的元素，则称 $V$ 是完备的。一个完备的无限维酉空间称为希尔伯特空间又称为 $H$ 空间。在 $n$ 维空间中矢量被定义为 $(f_1,f_2,\cdots,f_n)$ ,在无限维空间中矢量被定义为 $t$ 从 $a$ 变换到 $b$ 的函数 $f(t)$ 。在希尔伯特空间中矢量的加法和乘法定义为函数的加法与函数和数的乘法。

内积

对于 $f,g \in H$ ,则二者的内积定义为：
$(f,g) = \int_{a}^{b}f(t)g(t)d t \tag{1}$
度量
- 对于 $f(t)\in H$ ,其长度定义为：
  $L_H=\sqrt{\int_{a}^{b}f^2(t)dt}\tag{2}$
若 $f(t),g(t)\in H$ 则二者之间的距离定义为：
$D_H=\sqrt{\int_{a}^{b}(f(t)-g(t))^2dt}\tag{3}$
直观来看就是两个函数的均方差，就是以均方差来作为 $H$ 空间的距离的度量。
若 $f(t),g(t)\in H$ ,则二者的夹角定义为：
$\Omega = \arccos{\frac{\int_{a}^{b}f(t)g(t)dt}{\sqrt{\int_{a}^{b}f^2(t)}\sqrt{\int_{a}^{b}g^2(t)dt}}}\tag{4}$
正交函数系
- 若非零矢量 $f,g\in H$ 的内积 $(f,g)=0$ ，则由 $H$ 空间的夹角定义公式可知 $\Omega=\frac{\pi}{2}$ ,此时称矢量 $f,g$ 正交。
- 若 $f_i \in H,i=1,\cdots,n$ 且两两正交，设
  $f(x) = \sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}(x)\tag{5}$
  则有
  $L_{f(x)}^2=\sum\limits_{i=1}^{n}L_{f_{i}(x)}^2\tag{6}$
  由 $H$ 空间长度和正交的定义可推出：
  $L_{f(x)}^{2}=\int_{a}^bf^2(x)dx=\int_{a}^b[\sum\limits_{i=0}^{n}f_i(x)]^2dx=\int_{a}^b[\sum\limits_{i=0}^{n} f_i^2(x)]dx=\sum\limits_{i=0}^{n}[\int_{a}^bf_i^2(x)dx]\tag{7}$
  上述积分都是指勒贝格积分有意义。
- 若函数系 $\phi_i(x)\in H,i=1,\cdots,n,\cdots$ 中任意两个函数相互正交，即
  $\int_{a}^{b}\phi_i(x)\phi_j(x)dx=0（i\neq j）\tag{8}$
  则称这个函数系为正交函数系，若还满足
  $\int_{a}^{b}\phi_{k}^2(x)dx=1（k \in 1,\cdots,n,\cdots）\tag{9}$
  则称此函数系为标准正交系。
依标准正交函数系的分解

若在 $H$ 空间中给定一个完备的标准正交函数系 $\phi_1(x),\phi_2(x),\cdots,\phi_n(x),\cdots$ （即不可能再加一个不恒为零的函数与系中的一切函数正交），则对于任意函数 $f(x)$ 都可根据这个标准正交函数系展开成级数（平均收敛）：

$f(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i\phi_i(x)=a_1\phi_1(x)+a_2\phi_2(x)+\cdots+a_n\phi_n(x)+\cdots\tag{10}$
$a_n$ 为 $\phi_n(x)$ 在这个标准正交函数系上的投影：

$a_n = (f,\phi_n)=\int_{a}^{b}f(x)\phi_n(x)dx（n=1,2,\cdots）\tag{11}$
很容易证明
$\int_{a}^{b}f^2(x)dx=\sum\limits_{i=1}^{\infty}a^2_i\tag{12}$
代表 $H$ 空间中矢量的长度平方等于该矢量在完备的标准正交系中的矢量上的投影平方和。

傅立叶级数

希尔伯特空间是有限维欧几里得空间的推广，与欧几里得空间相同，希尔伯特空间也是内积空间，也有距离和角的概念，并且不同于欧几里得空间， $H$ 空间具有完备性：希尔伯特空间内的所有的柯西列会收敛到一点。因此微积分中的大部分概念可无障碍推广至希尔伯特空间中。希尔伯特空间提供了一个很强大理论工具：对于 $H$ 空间中的任意函数 $f(x)$ 都可以由 $H$ 空间中完备的标准正交函数系展开成级数。也就是说，可以通过一个标准正交函数系去逼近一个任意函数（这些函数都是基于希尔伯特空间的）。

三角函数系

基于上述的讨论，接下来讨论如何通过一个标准正交函数系来展开任意函数。基于标准正交函数的定义，直观来看，三角函数系似乎完美的切合，对于三角函数系
$1,cos(x),sin(x),\cdots,cos(kx),sin(kx),\cdots\tag{13}$
由于
$\int_{-\pi}^{\pi}1*cos(kx)\mathrm{d}x=\frac{2}{k}\int_{0}^{\pi}cos(kx)\mathrm{d} kx =\frac{2}{k}sin(kx)|^{\pi}_{0}=0（k=1,2,3,\dots）\tag{14}$
又由奇函数的性质直接得到（15）（16）定积分等式成立：
$\int_{-\pi}^{\pi}1*sin(kx)\mathrm{d}x=0（k=1,2,3,\dots）\tag{15}$

$\int_{-\pi}^{\pi}sin(kx)cos(nx)\mathrm{d}x=0（k，n=1,2,3,\dots；k\neq n）\tag{16}$

又：
$\int_{-\pi}^{\pi}cos(kx)cos(nx)\mathrm{d}x\overset{积化和差}{=}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}[cos(k+n)x+cos(k-n)x]\mathrm{d}x=0（k，n=1,2,3,\dots；k\neq n）\tag{17}$
同理得到：
$\int_{-\pi}^{\pi}sin(kx)sin(nx)\mathrm{d}x\overset{积化和差}{=}\int_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{2}[cos(k+n)x-cos(k-n)x]\mathrm{d}x=0（k，n=1,2,3,\dots；k\neq n）\tag{18}$
于是得到三角函数系（13）在 $[-\pi,\pi]$ 是一个正交函数系，但是，细心的读者可能发现，三角函数系（13）并不是一个标准正交函数系，为此基于（13）构造三角函数系
$\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{cos(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{sin(x)}{\sqrt{\pi}},\cdots,\frac{cos(kx)}{\sqrt{\pi}},\frac{sin(kx)}{\sqrt{\pi}},\cdots\tag{19}$
显然，三角函数系（20）是一个正交函数系，下面进一步证明该函数系是一个标准正交函数系，则只需证明对于该函数系任意函数有（9）式成立即可：
$\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^2\mathrm{d}x=\frac{1}{2\pi}x|_{-\pi}^{\pi}=1\tag{20}$

$\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{cos(kx)}{\sqrt{\pi}})^2\mathrm{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{cos^2(kx)}{\pi}\mathrm{d}x\overset{三角降幂公式}{=}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1+cos(2kx)}{2\pi}\mathrm{d}x=(\frac{1}{2\pi}x+\frac{1}{4k\pi}sin(k\pi))｜_{-\pi}^{\pi}=1\\\tag{21}$

$\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{sin(kx)}{\sqrt{\pi}})^2\mathrm{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{sin^2(kx)}{\pi}\mathrm{d}x\overset{三角降幂公式}{=}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-cos(2kx)}{2\pi}\mathrm{d}x=(\frac{1}{2\pi}x-\frac{1}{4k\pi}sin(k\pi))｜_{-\pi}^{\pi}=1\tag{22}$

由（20）（21）（22）三式可得，三角函数系（19）为希尔伯特空间下的标准正交函数系。则任意定义在 $[-\pi,\pi]$ 的函数 $f(x)$ 有：
$f(x)=c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+a_0\frac{cos(x)}{\sqrt{\pi}}+b_0\frac{sin(x)}{\sqrt{\pi}}+\dots+a_k\frac{cos(kx)}{\sqrt{\pi}}+b_k\frac{sin(kx)}{\sqrt{\pi}}+\dots\tag{23}$
整理得：
$f(x)=c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+\sum_{i=1}^{\infty}a_i\frac{cos(ix)}{\sqrt{\pi}}+\sum_{i=0}^{\infty}b_i\frac{sin(ix)}{\sqrt{\pi}}=c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+\sum_{i=1}^{\infty}(a_i\frac{cos(ix)}{\sqrt{\pi}}+b_i\frac{sin(ix)}{\sqrt{\pi}})\tag{24}$
此时，只需确定系数 $c_0,a_i,b_i（i=1,2,3,\dots）$ 即可得到 $f(x)$ 在在 $[-\pi,\pi]$ 的级数展开形式：

$c_0$ :

对等式（24）两边同时求积分得到：
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\pi}^{\pi}c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{d}x+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{i=1}^{\infty}(a_i\frac{cos(ix)}{\sqrt{\pi}}+b_i\frac{sin(ix)}{\sqrt{\pi}})\mathrm{d}x\tag{25}$
结合（14）（15）（16）得到：
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\pi}^{\pi}c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{d}x+0=c_0\sqrt{2\pi}\tag{26}$
求得:
$c_0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x\tag{27}$
$a_i$ :

结合（21）式，对等式（24）两边同乘 $cos(jx)$ ,得到：
$f(x)cos(jx)=c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}cos(jx)+\sum_{i=1}^{\infty}(a_i\frac{cos(ix)cos(jx)}{\sqrt{\pi}}+b_i\frac{sin(ix)cos(jx)}{\sqrt{\pi}})（j=1,2,3,\dots）\tag{28}$
同样对等式（30）两边同时求积分得到：
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(jx)\mathrm{d}x=\color{#F00}{\int_{-\pi}^{\pi}c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}cos(jx)\mathrm{d}x}+\color{#00F}{\sum_{i=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}a_i\frac{cos(ix)cos(jx)}{\sqrt{\pi}}\mathrm{d}x}+\color{#F00}{\sum_{i=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}b_i\frac{sin(ix)cos(jx)}{\sqrt{\pi}}\mathrm{d}x}\tag{29}$
由（14）（16）式可知，等式（29）中两个红色定积分都为 $0$ ，对于蓝色定积分，由（17）（21）式可知，当且仅当 $i= j$ 的项积分为 $1$ ，其余项的积分都为 $0$ ，故：
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(jx)\mathrm{d}x=\color{#00F}{\sum_{i=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}a_i\frac{cos(ix)cos(jx)}{\sqrt{\pi}}\mathrm{d}x}=\color{#F00}{\sum_{i=1,i\neq j }^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}a_i\frac{cos(ix)cos(jx)}{\sqrt{\pi}}\mathrm{d}x}+\color{#0F0}{\int_{-\pi}^{\pi}a_j\frac{cos(jx)cos(jx)}{\sqrt{\pi}}\mathrm{d}x}\tag{30}$
将蓝色部分的积分拆分为红色和绿色两部分积分之和（绿色积分为 $i=j$ 时），显然由（17）式红色部分积分仍旧为 $0$ ，由（21）式绿色部分积分为 $\sqrt{\pi}a_j$ ，进一步得到:
$a_i\overset{i=j}{=}a_j=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(ix)\mathrm{d}x\tag{31}$
$b_i$ :

同上可得到：
$b_i=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(ix)\mathrm{d}x\tag{32}$

周期与非周期下的傅里叶级数

在上文中，已经求出了系数的表达式，将这些系数代入（24）式，整理得到：
$\begin{equation} \begin{split} f(x)&=c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+\sum_{i=1}^{\infty}(a_i\frac{cos(ix)}{\sqrt{\pi}}+b_i\frac{sin(ix)}{\sqrt{\pi}})\\ &=（\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x）\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+\sum_{i=1}^{\infty}[(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(ix)\mathrm{d}x)\frac{cos(ix)}{\sqrt{\pi}}+(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(ix)\mathrm{d}x)\frac{sin(ix)}{\sqrt{\pi}}]\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x+\sum_{i=0}^{\infty}[\color{#00F}{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(ix)\mathrm{d}x} * \color{#F0F}{cos(ix)}+\color{#00F}{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(ix)\mathrm{d}x} * \color{#F0F}{sin(ix)}] \end{split} \end{equation}\tag{33}$
此时，令
$\begin{equation} \begin{split} a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x\\ a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)\mathrm{d}x\\ b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)\mathrm{d}x \end{split} \end{equation}\tag{34}$
得到：
$f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_icos(nx)+b_isin(nx)]\tag{35}$
式（35）显然就是傅立叶级数。级数（35）的收敛性证明，涉及较多泛函分析的内容，在此不做展开，有时间在另开一篇文章说明，有兴趣的读者可以尝试一下证明。细心的读者可能注意到 $f(x)$ 的定义域是 $[-\pi,\pi]$ ，那么如果对于任意周期 $T$ ，级数还成立吗？将定义域拓展到实数域后，级数（35）还成立吗？对此，下面进一步讨论。

周期函数的傅立叶级数

当 $f(x)$ 是一个周期为 $2\pi$ 的周期函数时，那么在区间 $[-\pi,\pi]$ 中，作变换：
$x = \frac{2\pi}{2T}t=\frac{\pi}{T}t\tag{36}$
则 $F(t)=f(\frac{\pi}{T}t),t \in [-T,T]$ ，为周期 $2T$ 的周期函数，构造标准正交三角函数系：
$\frac{1}{\sqrt{2T}},\frac{cos(x)}{\sqrt{T}},\frac{sin(x)}{\sqrt{T}},\cdots,\frac{cos(kx)}{\sqrt{T}},\frac{sin(kx)}{\sqrt{T}},\cdots\tag{37}$
进一步得到此时的傅立叶系数：
$\begin{equation} \begin{split} a_0&=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(x)\mathrm{d}x\\ a_n&=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(x)cos(\frac{n\pi}{T}x)\mathrm{d}x\\ b_n&=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(x)sin(\frac{n\pi}{T}x)\mathrm{d}x \end{split} \end{equation}\tag{38}$
则此时的傅立叶级数为：
$\color{#F00}{F(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_icos(\frac{n\pi}{T}t)+b_isin(\frac{n\pi}{T}t)]}\tag{39}$
因此，对于可积的任意周期函数，都能展开为对应的傅立叶级数，并且由于周期函数的特性，当定义域拓展到实数域时也是成立的。

非周期函数的傅立叶积分

在更多情况下，需要处理非周期函数，对此比较直观的处理技巧是，将非周期函数视为周期为 $\infty$ 的周期函数，即 $2T \to +\infty$ 。设 $\xi(x)$ 是定义在 $R$ 上，并且在定义域绝对可积， $\xi_T{x}$ 是 $\xi(x)$ 在有限区间 $[-T,T]$ 上的截取，因为 $\xi_{T}(x)$ 可视为该有限区间上的周期函数，令 $\omega=\frac{2\pi}{2T},$ 则得到 $\xi_{T}(x)$ 的傅立叶级数为：
$\xi_{T}(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(n\omega x)+b_nsin(n\omega x)]\tag{40}$
其中：
$\begin{equation} \begin{split} a_0&=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrm{d}t\\ a_n&=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)cos(n\omega t)\mathrm{d}t\\ b_n&=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)sin(n \omega t)\mathrm{d}t \end{split} \end{equation}\tag{41}$
得到：
$\begin{equation} \begin{split} \xi_T(x)&=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrm{d}t+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)cos(n\omega t)\mathrm{d}tcos(n\omega x)+\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)sin(n \omega t)\mathrm{d}tsin(n\omega x)] \\ &=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrm{d}t+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)[cos(n\omega t)cos(n\omega x)+sin(n \omega t)sin(n\omega x)]\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrm{d}t+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)cos[n\omega(x-t)]\mathrm{d}t \end{split} \end{equation}\tag{42}$
于是有：
$\xi(x)=\lim_{T \to \infty}\xi_{T}(x)=\lim_{T \to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrm{d}t+\lim_{T \to \infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)cos[n\omega(x-t)]\mathrm{d}t\tag{43}$
关（43）式的两个极限，接下来分别进行讨论：

对于第一个极限：

由于 $f(t)$ 在 $R$ 上绝对可积，则：
$｜\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrm{d}t｜\leq\frac{1}{2T}\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\mathrm{d}t=\frac{\alpha}{2T}\tag{44}$
所以，有：
$\lim_{T \to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrm{d}t=0\tag{45}$
对于第二个极限，先直接给出结论：

令 $\lambda=n\omega=\frac{\pi}{T}$ ，有：
$\lim_{T \to \infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)cos[n\omega(x-t)]\mathrm{d}t=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos[\lambda(x-t)]\mathrm{d}t]\mathrm{d}\lambda\tag{46}$

于是，得到非周期函数 $f(x)$ 的傅立叶积分表示：
$f(x) =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos[\lambda(x-t)]\mathrm{d}t]\mathrm{d}\lambda\tag{47}$
或写为：
$f(x)=\int_{0}^{+\infty}[A(\lambda)cos(\lambda x)+B(\lambda)sin(\lambda x)]\mathrm{d}\lambda\tag{48}$
其中：
$A(\lambda)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos(\lambda t)\mathrm{d}t\\ B(\lambda)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)sin(\lambda t)\mathrm{d}t \tag{49}$
综合来看，周期函数和有限区间上的函数可以用傅立叶级数来表示；而无穷区间的非周期函数，用傅里叶积分表示，对应了频率的连续分布。

傅里叶变换

傅里叶级数的本质是函数在某个函数空间中各个基底的投影和，在上文中我们通过引入希尔伯特空间，构造标准正交三角函数系进而推导出傅立叶级数与傅立叶积分。然而，这一切都是基于实数域推导，那么这种思路在复数域是否也成立呢，答案是显而易见的。下面，我们通过欧拉公式（公式证明见文末）来得到傅立叶积分的复数形式：
$e^{ix}=cos(x)+isin(x)\tag{50}$
观察（47）式，由于：
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos[\lambda(x-t)]\mathrm{d}t=\lim_{\alpha \to \infty}\int_{-\alpha}^{\alpha}f(t)cos[\lambda(x-t)]\mathrm{d}t\tag{51}$
因为
$\begin{equation} \begin{split} \int_{-\alpha}^{\alpha}f(t)e^{i\lambda(x-t)}\mathrm{d}t&=\int_{-\alpha}^{\alpha}f(t)\{cos[\lambda(x-t)]+isin[\lambda(x-t)]\}\mathrm{d}t\\ &=\int_{-\alpha}^{\alpha}f(t)cos[\lambda(x-t)]\mathrm{d}t+i*0（奇函数在对称区间的积分为零） \end{split} \end{equation}\tag{52}$
则非周期函数 $f(x)$ 的傅立叶积分（47）可改写为：
$\begin{equation} \begin{split} f(x)&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos[\lambda(x-t)]\mathrm{d}t]\mathrm{d}\lambda\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\lambda(x-t)}\mathrm{d}t]\mathrm{d}\lambda\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}e^{i\lambda x}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}\mathrm{d}t\mathrm{d}\lambda\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\lambda x}\color{#F00}{\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}\mathrm{d}t}\mathrm{d}\lambda\\ \end{split} \end{equation}\tag{53}$
上式最后一个等式即为傅立叶积分的复数形式，而红色积分部分就是大名鼎鼎的傅立叶变换也叫像函数，是一个复数表示振幅和相位：
$F(\lambda)=\color{#F00}{\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}\mathrm{d}t}\tag{54}$
而 $f(x)$ 也称为傅立叶逆变换也叫本函数：
$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\lambda x}\color{#F00}{F(\lambda)}\mathrm{d}\lambda\tag{55}$
傅里叶变换一词既指变换操作本身（将函数 $f(x)$ 进行傅里叶变换），又指该操作所生成的复数函数（ $F(\lambda)$ 是 $f(x)$ 的傅里叶变换）,需要注意的是，一般情况下傅立叶变换是可逆的。

傅立叶变换的性质

傅立叶级数使用不同频率的三角函数和来表示周期函数和有限区上的函数，而傅立叶积分则是对频率作无穷积分来表示无穷区间上的函数。本质上其实是从不同的角度刻画相同的函数，所以你经常可以听到这样的说法，傅立叶变换是一种线性积分变换，常用于信号时域到频域之间的变换，这里说的时域是从时间的角度描述函数或信号，而频域则是从频率的角度描述函数或信号。本质上傅立叶变换就像化学分析，像分析物质的基本成分一样，确定函数或信号的基本组成。

接下来讨论一下傅立叶变换的一些基本性质，为了方便描述，约定 $\mathscr{F}$ 为傅立叶变换的作用算子，即 $\mathscr{F}[f]=F[\lambda]$ 为 $f(x)$ 的傅立叶变换， $\mathscr{F}^{-1}[F]=f(x)$ 表示 $F(\lambda)$ 的傅立叶逆变换，并且函数 $f(x),g(x)$ 都存在傅立叶变换：

线性性质

两函数之和的傅里叶变换等于各自的傅立叶变换之和：
频移性质

时移特性
$\mathscr{F}^{-1}[f(x)e^{i\lambda x_0}]=\mathscr{F}[{f}](x+x_0)$
帕塞瓦尔定理

若 $f(x)$ 平方可积，则有：
$\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(x)\mathscr{d}x=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\lambda)|^2\mathscr{d}\lambda$
卷积的傅里叶变换

若 $f(x),g(x)，x \in R$ 且在定义域内绝对可积，定义卷积函数：
$f*g = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x-\xi)g(\xi)\mathscr{d}\xi$

则有：
$\begin{equation} \begin{split} &\mathscr{F}[f*g]=\mathscr{F}[f]\cdot\mathscr{F}[g] \\ &\mathscr{F}^{-1}[F(\lambda)*G(\lambda)] = 2\pi\mathscr{F}^{-1}[F(\lambda)]\cdot\mathscr{F}^{-1}[G(\lambda)] \end{split} \end{equation}$
傅里叶变换在时域和频域之间搭起来一座桥梁，一些在时域很难解决甚至无法解决的问题，在频域下却可以轻松得到解决，在信号、图像处理还有偏微分方程等领域都有着广泛的应用。

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其离散时间傅里叶变换的频域采样。

对于序列 $x[n],n=0,1,\dots,N-1$

其离散傅里叶变换（DFT）如下：
$\hat{x}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-i\frac{2nk\pi}{N}}x[n]\quad k=0,1,\dots,N-1.$
离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）如下：
$x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{i\frac{2nk\pi}{N}}\hat{x}[k] \quad n=0,1,\dots,N-1$
离散傅里叶变换的应用：

数据压缩

由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号。

长整数与多项式乘法

目前长整数或多项式乘法最快速的算法是基于离散傅里叶变换的。由于整数（或多项式）乘法是逐位（或逐项）乘累加的形式，因此整数（或多项式）乘积的数字（或系数）可以用乘数数字（或乘式系数）的卷积表示。利用卷积定理，只要将数字（或系数）序列通过离散傅里叶变换变到频域，就可以将逐个乘累加的卷积变为对位的乘法，从而减少计算量，再以一次逆变换便可以得到乘法结果。需要注意整数乘法还有进位的问题。

求解偏微分方程

离散傅里叶变换及其多维形式在偏微分方程的求解中也有应用。此时DFT被看作傅里叶级数的近似。傅里叶级数将函数在复指数 $e^{i\lambda x}$ 上展开，这正是微分算子的特征方程：
$\frac{d}{dx}e^{i\lambda x}=i\lambda e^{i\lambda x}$
因此，通过傅里叶级数的形式，线性常微分方程被转换为代数方程，而后者是很容易求解的。此时得到的结果是偏微分方程解的级数表示，只要通过DFT逆变换即可得到其一般表示，这种方法被称作谱方法或级数解法。

快速傅里叶变换

离散傅里叶变换十分强大，但是计算复杂度较高，对于一个大小为 $n$ 的序列，其离散傅里叶级数的复杂度为 $O(n^2)$ ，对于一些需要实时计算的场景，不太能满足需求。因此，快速傅里叶变换（FFT）应运而生，快速傅里叶变换是快速计算序列的离散傅里叶变换]叶变换)（DFT）或其逆变换的方法。傅里叶分析将信号从原始域（通常是时间或空间）转换到频域的表示或者逆过来转换。FFT会通过把DFT矩阵分解为稀疏因子之积来快速计算此类变换，因此，它能够将计算DFT的复杂度从 $O(n^2)$ 降低到 $n\log_2 n$ 。

FFT的本质就是通过不断的把长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，并利用单位根的周期性和对称性来减少计算量。FFT算法有很多种，不过大致可以分为两类：

按抽取方法可分为：

时域抽取法（DIT）

频域抽取大（DIF）

按基数可分为：

基2-FFT算法

基4-FFT算法

混合基FFT算法

分裂基FFT算法

Cooley-Tukey算法

Cooley-Tukey算法是最常见的FFT算法。这一方法以分治法为策略递归地将长度为 $N=N_{1}N_{2}$ 的离散傅里叶变换分解为长度为 $N_{1}$ 的 $N_{2}$ 个较短序列的离散傅里叶变换，以及与 $\mathrm {O} (N)$ 个转因子的复数乘法。

Cooley-Tukey算法最有名的应用，是将序列长为 $N$ 的DFT分割为两个长为 $\frac{N}{2}$ 的子序列的DFT，因此这一应用只适用于序列长度为2的幂的DFT计算，即基2-FFT。实际上，如同高斯和Cooley与Tukey都指出的那样，Cooley-Tukey算法也可以用于序列长度N 为任意因数分解形式的DFT，即混合基FFT，而且还可以应用于其他诸如分裂基FFT等变种**。尽管Cooley-Tukey算法的基本思路是采用递归的方法进行计算，大多数传统的算法实现都将显式的递归算法改写为非递归的形式。另外，因为Cooley-Tukey算法是将DFT分解为较小长度的多个DFT，因此它可以同任一种其他的DFT算法联合使用。

基2时间抽取法

基2时间抽取算法是Cooley-Tukey算法的一种分支，当序列 $x(n)$ 的点数为 $N=2^{M}\quad M \in \N$ （若不满足，可补零），此时的Cooley-Tukey算法称之为基2时间抽取法。由于序列点数为2的整数幂，则可以将序列按序号 $n$ 的奇偶性分为两组：

偶序列
$x_1=x_{(2r)} \quad r = 0,1,\dots,\frac{N}{2}-1$
奇序列
$x_2=x_{(2r+1)} \quad r = 0,1,\dots,\frac{N}{2}-1$
即一组由偶数序号组成，另外一组由奇数序号组成（注意数据长度为 $\frac{N}{2}$ ）

互质因子算法

Winograd算法

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上；拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换的基有两个变量，因此更灵活，适用范围更广。

关于快速傅里叶变换只是做了简单的介绍和梳理,详细内容等以后有时间再更新。

概念解析

酉空间

设 $V$ 为一个复数域 $F$ 上的线形空间，若在 $V$ 中定义了两个变量 $\alpha,\beta$ 的内积（数量积），记作 $(\alpha,\beta)$ ，且满足：

$(i)$ $(\alpha,\beta)=\overline{(\beta,\alpha)}$ ，其中 $\overline{(\beta,\alpha)}$ 是 $(\alpha,\beta)$ 的共轭

$(ii)$ $(\alpha,\alpha) \geq0$ ，当且仅当 $\alpha=0$ 时等号成立

$(iii)$ $(a_1\alpha_1+a_2\alpha_2,\beta)=a_1(\alpha_1,\beta)+a_2(\alpha_2,\beta)$ ,对任意 $\alpha_1,\alpha_2,\beta\in V,a_1,a_2\in F$

则称 $V$ 为酉空间( $U$ 空间)，又称为内积空间，当 $F$ 为实数域时，此时的内积是可交换的，有限维的实酉空间也就是欧几里德空间。直观来说，酉空间就是将欧几里德空间的内积运算从实数域拓展到复数域。

完备性

一个向量空间具有完备性指空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。。
柯西列

柯西列就是空间中元素构成的一个序列，并且这个序列在无穷远处两个元素之间的距离趋于零。准确的说，如果空间中有一个序列 $\{x_n\}$ ,当 $n,m \to \infty$ 的时候， $||x_n-x_m|| \to 0$ （即二者的距离趋零），则 $\{x_n\}$ 就是一个柯西列，也就是说完备性保证了取序列极限不会跑到空间外面去。一个不完备的例子就是有理数的集合，例如这个集合可以用柯西列的极限去逼近 $\sqrt{2}$ ，而这个极限并不在有理数这个集合中，所以有理数集合是不完备的，而实数集合是完备的。
三角恒等式

维基百科：三角恒等式
内积空间

内积空间是线性代数里的基本概念，是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。内积将一对向量与一个标量连接起来，允许我们严格地谈论向量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论向量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。
欧拉公式的证明

欧拉公式（50）的证明方式有两种，第一种是构造函数：

$f(x)=\frac{e^{ix}}{cos(x)+isin(x)}$

利用拉格朗日中值定理证明 $f(x)=1$ 即可；第二种则是使用麦克劳林级数分别展开得到：
$e^{ix}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\dots+i^n\frac{x^n}{n!}+\dots（\forall x \in \R）\\ cos(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+\dots（\forall x \in \R）\\ isin(x)=i\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=ix-i\frac{x^3}{3!}+i\frac{x^5}{5!}+\dots+i\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\dots（\forall x \in \R）$
后两者的麦克劳林级数展开相加刚好等于前者的麦克劳林级数展开。在此只补充拉格朗日中值定理，具体证明过程较简单，不做详细展开。

拉格朗日中值定理:

如果函数 $f(x)$ ，在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可微。则少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使下面的等式成立:
$f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)$
推论：

若函数 $f(x)$ 的导数恒为零，则 $f(x)$ 为常值函数，即 $f(x)=C,C\in\R$ 。