先说答案：
3步作出完美的五角星
原理：
正五边形的边长（当其外接圆的半径为2时）为：根号[10-2*根号(5)]
计算方法：
-
如何正五边形的边长
AM/OA=sin∠AOM；∠AOM=36°；
AB=2AM；
AM/OA=sin∠AOM；∠AOM=36°
现在，问题转向了了：如何计算sin36°？
-
如何计算sin36°
首先作出如下图所示的特殊三角形（图中最小的角皆为36°）：
图中最小的角皆为36°
由三角形相似得：
解得：
由正弦定理得：
解得：
因此，外接圆半径为1的正五边形的边长为：
生成公式的代码：
<!--公式专用生成-->
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<title>生成公式专用</title>
<script src='https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.2/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML'></script>
<style type="text/css">
body {
max-width: 600px;
margin: 0 auto;
border-left: dashed 1px;
border-right: dashed 1px;
padding: 0 1%;
}
</style>
</head>
<body>
\[ \frac{1}{x} = \frac{x}{x+1} \]
解得
\[ x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]
接下来计算\( \sin(36^\circ)\) :
方法一：正弦定理
\[ \frac{x}{\sin 36^\circ } = \frac{x+1}{\sin 72^\circ } \]
得
\[ \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \]
因此，外接圆半径为1的正五边形的边长为：
\[ 2\sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2} \]
</body>
</html>