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动态规划解题

引入：动态规划 和贪心法 都是算法的思想方法

• 贪心算法——像 第一类归纳法（下一个状态的推出 只需要 以前的一个或几个状态）例如：最小生成树（Prim和Kruskal算法）

• 动态规划— 第二类归纳法 （下一个状态的推出需要以前的所有状态） 例如：最长递增子序列， 最长连续子数组和

详见知乎解释
适用情况

• 最优子结构性质。局部最优解能决定全局最优解。
• 无后效性。即子问题的解一旦确定，就不再改变，不受在这之后、包含它的更大的问题的求解决策影响。
• 子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。

1.最大连续子序列（最大连续子数组和）

结论：采用动态规划时时间复杂度为 o(n)
算法的步骤：

最大子序列是要找出由数组成的一维数组中和最大的连续子序列。比如{5,-3,4,2}的最大子序列就是 {5,-3,4,2}，它的和是8,达到最大；而 {5,-6,4,2}的最大子序列是{4,2}，它的和是6。
找最大子序列的方法很简单，只要前i项的和还没有小于0那么子序列就一直向后扩展，否则丢弃之前的子序列开始新的子序列，同时我们要记下各个子序列的和，最后找到和最大的子序列

代码如下：

  int maxsum(int a[n]){
    int max=a[0]; //全负情况，返回最大数
    int sum=0;
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
    if(sum>=0) //如果加上某个元素，sum>=0的话，就加
    sum+=a[j];
    else
    sum=a[j]; //如果加上某个元素，sum<0了，就不加
    if(sum>max)
    max=sum;
    }
    return max;
    }

数学证明（归纳法）：上网查 ----证明

2.最长公共子序列（两个字符串）

这个的算法四个字评价：不明觉厉
详细见：july讲解

3.最长递增子序列（只需要求长度）

结论：用到了两重for循环 时间复杂度为o（n^2）
算法步骤：

给定一个长度为N的数组a0,a1,a2…,an-1，找出一个最长的单调递增子序列（注：递增的意思是对于任意的i<j，都满足ai<aj，此外子序列的意思是不要求连续，顺序不乱即可）。例如：给定一个长度为6的数组A{5， 6， 7， 1， 2， 8}，则其最长的单调递增子序列为{5，6，7，8}，长度为4

int main()

{

int res = 0;//最后的值
int n = 8;
int dp[n] = {1}; //存以每个下标结尾的最大递增子序列的长度
int a[n] = {1,6,8,2,3,5,6,11}; //数组的值
for (int i = 1; i < n; i++){
for(int j = 0; j < i; j++) {
if(a[i] >a[j])
dp[i] = (dp[i] > dp[j]+ 1 )? dp[i]:dp[j] + 1; //当取 0到i-1 中最大的dp[]
}

}
for(int i = 0; i < n; i++)
printf("%d\n",dp[i]);

return 0;
}