1. 塔树选择和最大问题
（见塔树选择和最大问题)
一个高度为N的由正整数组成的三角形，从上走到下，求经过的数字和的最大值。每次只能走到下一层相邻的数上，例如从第3层的6向下走，只能走到第4层的2或9上。
5
8 4
3 6 9
7 2 9 5
例子中的最优方案是：5 + 8 + 6 + 9 = 28。
- 分析
直接分析，从上到下的考虑，发现无从下手好像只能遍历，但是反方向考虑则，则发现有趣的地方，假设dp[i][j]为最下面一层到第i层j位置上的最大值，考虑上图6这个位置，那么其dp[3][2]应该是什么呢？是下面相邻的两个位置的最大值+6,即dp[3][2] = max(dp[3+1][2],dp[3+1][2+1]) + a[3][2]。
据此可以推导其公式为
dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]) + a[i][j]
根据上述公式编程思路如下
1、初始化最下面一排dp
2、由下往上，安装上述公式对dp进行赋值
3、dp[1][1]为最终所求
//最下面一层直接赋值
int rs = 0;
for (int i = 0; i<FLOOR; i++)
dp[FLOOR-1][i] = a[FLOOR-1][i];
//从倒数第二行起， 按照状态转移方程
//dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + a[i][j]向上递推
//直到dp[0][0]， 此时dp[0][0]就是结果
for (int i = FLOOR-2; i>=0; i--)
for (int j = 0; j<=i;j++)
dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j];
启示：动态规划解决问题时，经常从后面往前考虑会瞬间明朗很多，塔数类问题还有许多其他的变形参见 动态规划“数塔”类型题目总结
2. 乘法表问题
定义于字母表∑(a,b,c)上的乘法表如表1所示
- 表1. ∑乘法表
∑ | a |b | c
:---:|:---:|:---:|:---:
a |b | b | a
b |c | b| a
c |a | c | c
依此乘法表,对任一定义于∑上的字符串,适当加括号表达式后得到一个表达式。例如,对于字符串x=bbbba,它的一个加括号表达式为i(b(bb))(ba)。依乘法表,该表达式的值为a。试设计一个动态规划算法,对任一定义于∑上的字符串x=x1x2…xn，计算有多少种不同的加括号方式,使由x导出的加括号表达式的值为a
要求：
输入：输入一个以a,b,c组成的任意一个字符串。
输出：计算出的加括号方式数。
分析：
建立一个三位数组，用于记录一段连续的序列内通过加括号可得到a、b、c的方式数，然后往长度方向扩展，因为每两个字母相乘的结果已给出，所以可通过加和乘运算求出更大长度的字符串得到a、b、c的方式数具体算法：
数组维数为:p[n][n][3];
p[i][j][k] 表示 字符串xix(i+1)....xj的表达式的值为k(k>=0 k <=2,k=0表示a...) 的方式数；
递推式为：
p[i][j][0]= sum(p[i][t][0]*p[t+1][j][2]+ p[i][t][1]*p[t+1][j][2]+p[i][t][2]*p[t+1][j][0])
p[i][j][1]与p[i][j][2]类似p[i][j][0] 的求法 t>=i 并且t <j
C++代码：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main() {
int n = 0;
char c;
int p[100][100][3] = {0};
while((c = getchar()) != '/n') {
p[n][n][c - 'a'] = 1;
n++;
}
for(int k = 1;k < n;k++) {
for(int i = 0;i < n-k;i++) {
int j = i + k;
for(int t = i;t < j;t++) {
p[i][j][0] += p[i][t][2]* p[t+1][j][0] + p[i][t][0]*p[t+1][j][2] + p[i][t][1]*p[t+1][j][2];
p[i][j][1] += p[i][t][0]*p[t+1][j][0] + p[i][t][0]*p[t+1][j][1] + p[i][t][1]*p[t+1][j][1];
p[i][j][2] += p[i][t][1]*p[t+1][j][0] + p[i][t][2]*p[t+1][j][1] + p[i][t][2]*p[t+1][j][2];
}
}
}
printf("%d/n",p[0][n-1][0]);
}
3. 爬楼梯
题目：
You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.
Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?
- 分析:
动态规划 d(i) = d(i-1) + d(i-2)
class Solution:
# @param n, an integer
# @return an integer
def climbStairs(self, n):
dp = [0, 1, 2]
if n <= 2:
return dp[n]
dp += [0 for i in range (n-2)]
for i in range (3, n + 1):
dp[i] += dp[i-1] + dp[i-2]
return dp[n]
4. 最长上升子序列（LIS）
问题描述:
设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。
- 分析：
这里采用的是逆向思维的方法，从最后一个开始想起，即先从A[N]（A数组是存放数据的数组，下同）开始，则只有长度为1的子序列，到A[N-1]时就有两种情况，如果a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的不下降子序列 a[n-1],a[n]；如果a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的不下降子序列 a[n-1]或者a[n]。
有了以上的思想，DP方程就呼之欲出了（这里是顺序推的，不是逆序的）：
DP[I]=MAX（1,DP[J]+1） J=0,1,...,I-1
但这样的想法实现起来是）O(n^2)的。本题还有更好的解法，就是O(n*logn)。利用了长升子序列的性质来优化，以下是优化版的代码：
//最长不降子序
const int SIZE=500001;
int data[SIZE];
int dp[SIZE];
//返回值是最长不降子序列的最大长度,复杂度O(N*logN)
int LCS(int n) { //N是DATA数组的长度,下标从1开始
int len(1),low,high,mid,i;
dp[1]=data[1];
for(i=1;i<=n;++i) {
low=1;
high=len;
while( low<=high ) { //二分
mid=(low+high)/2;
if( data[i]>dp[mid] ) {
low=mid+1;
}
else {
high=mid-1;
}
}
dp[low]=data[i];
if( low>len ) {
++len;
}
}
return len;
}
5. 背包问题
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的大小是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
分析：
用DP[I][J] 表示前I件物品放入一个容量为J的背包可以获得的最大价值。则
DP[I][J]= DP[I-1][J] ,J<C[I]
MAX（DP[I-1][J]，DP[I-1][J-C[I]]+W[I]） , J>=C[I]
这样实现的空间复杂度为O(VN)，实际上可以优化到O（V）。以下是代码：
const int MAXW=13000; //最大重量
const int MAXN=3450; //最大物品数量
int c[MAXN]; //物品的存放要从下标1开始
int w[MAXN]; //物品的存放要从下标1开始
int dp[MAXW];
//不需要将背包装满，则将DP数组全部初始化为0
//要将背包装满，则初始化为DP[0]=0，DP[1]…DP[V]=-1(即非法状态)
int Packet(int n,int v) {
int i,j;
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=1;i<=n;++i) {
for(j=v;j>=c[i];--j) { //这里是倒序，别弄错了
dp[j]=MAX(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
}
}
return dp[v];
}
6. 最长公共子序列（LCS）
给出两个字符串a, b，求它们的最长、连续的公共字串。
这很容易就想到以DP[I][J]表示A串匹配到I，B串匹配到J时的最大长度。则：
0 I==0 || J==0
DP[I][J]= DP[I-1][J-1]+ 1 A[I]==B[J]
MAX（DP[I-1][J]，DP[I][J-1]） 不是以上情况
但这样实现起来的空间复杂度为O(n^2)，而上面的方程只与第I-1行有关，所以可以用两个一维数组来代替。以下是代码：
//最长公共子序列
const int SIZE=1001;
int dp[2][SIZE]; //两个一维数组
//输入两个字符串，返回最大的长度
int LCS(const string& a,const string& b) {
int i,j,flag;
memset(dp,0,sizeof(dp));
flag=1;
for(i=1;i<=a.size();++i) {
for(j=1;j<=b.size();++j) {
if( a[i-1]==b[j-1] ) dp[flag][j]=dp[1-flag][j-1]+1;
else dp[flag][j]=MAX(dp[flag][j-1],dp[1-flag][j]);
}
flag=1-flag;
}
return dp[1-flag][b.size()];
}
另见 LCS
