3D数学-透视校正插值

好记性不如烂笔头啊，还是记录一下!

在3D渲染中，输入数据是一些primitive信息，包括顶点位置、颜色、纹理坐标等等。在光栅化阶段，primitive(一般为三角形)被转化成一系列的fragment(或者称为像素)，这些fragment接下来要做ps操作，此时每个fragment都有位置、颜色、纹理坐标这些属性信息，这些属性信息通过顶点属性用插值方法得到的。

如下图所示对投影面上相等的空间步长 $L$ 与 $R$ ，它们在三角形面上对应的步长会随着离摄像机的距离的增加而变长，即 $L'>R'$ 。因此对于处于 $L$ 与 $R$ 之间的那个像素点，虽然在投影面上其坐标处于 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 之间的 $\frac{3}{4}$ 处，但是其在眼空间中的对应点并非处于 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 之间的 $\frac{3}{4}$ 处，而顶点的属性信息却又都是在投影变换前的空间中指定的。

因此对像素属性信息的插值不能是简单的线性，尤其是纹理坐标在用线性插值时会出现明显的失真。那么应该怎么办呢？方法就是如下的透视校正插值。

3D数学-透视校正插值_1.png

那么如何得到均匀的顶点属性插值呢？稍等一下，我们先看看深度插值：

3D数学-透视校正插值_2.png

假设投射的直线是：
$ax+bz=c$
对于该直线上的一点 $<x,z>$ ，从O点(相机位置)发出一束光线照射到该点，则光线与投影平面的交点为 $<p,-e>$ (投影平面的z值始终为-e)，由于三角形相似原理可得出以下关系式：
$\frac{p}{x}=\frac{-e}{z}$
解出 $x$ 得：
$x=-\frac{pz}{e}$
带入道直线方程 $ax+bz=c$ 中可得：
$(-\frac{ap}{e}+b)z=c$
转化为：
$\frac{1}{z} = -\frac{ap}{ce} + \frac{b}{c}$
考虑线段的两个端点 $<x_{1},z_{1}>$ 和 $<x_{2},z_{2}>$ ，以及它们在投影平面上得对应点 $<p_{1},-e>$ 和 $<p_{2},-e>$ ，假设 $p_{3}=(1-t)p_{1}+tp_{2}(0 \le t \le 1)$ ，则 $p_{3}$ 是点 $<p_{1},-e>$ 和 $<p_{2},-e>$ 在投影平面上得线性插值点的 $x$ 值，则 $z$ 值为：
$\frac{1}{z_{3}} = -\frac{ap_{3}}{ce} + \frac{b}{c} \\ \qquad \qquad \qquad \quad \; \; = -\frac{ap_{1}}{ce}(1-t) - \frac{ap_{2}}{ce}t + \frac{b}{c} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =(-\frac{ap_{3}}{ce} + \frac{b}{c})(1-t) + (\frac{ap_{2}}{ce} + \frac{b}{c})t \\ \qquad \quad \; \, = \frac{1}{z_{1}}(1-t) + \frac{1}{z_{2}}t$
可见， $z$ 的倒数是线性插值，所以我们可以用顶点的 $z$ 值来插值求得primitive内部fragment的属性值，比如颜色等等。
假定 $<x_{1},z_{1}>$ 的颜色为 $b_{1}$ , $<x_{2},z_{2}>$ 的颜色为把 $b_{2}$ ，则 $<x,z>$ 的颜色为 $b_{3}$ 为：
$\frac{b_{3}-b_{1}}{b_{2}-b_{1}} = \frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$
根据：
$z_{3} = \frac{1}{\frac{1}{z_{1}}(1-t) + \frac{1}{z_{2}}t}$
可解得：
$b_{3} = \frac{b_{1}z_{2}(1-t)+b_{2}z_{1}t}{z_{2}(1-t)+z_{1}t} \\ = \frac{\frac{b_{1}}{z_{1}}(1-t)+\frac{b_{2}}{z_{2}}t}{\frac{1}{z_{1}}(1-t)+\frac{1}{z_{2}}t} \;\,\\ \quad = z_{3}[\frac{b_{1}}{z_{1}}(1-t)+\frac{b_{2}}{z_{2}}t]$
转化一下为：
$\frac{b_{3}}{z_{3}} = \frac{b_{1}}{z_{1}}(1-t)+\frac{b_{2}}{z_{2}}t$
由此可见用深度倒数来插值顶点属性是合适的。