摘要
向量、线性组合、张成空间、基、线性变换、矩阵乘法、行列式、零空间、点积、基变换、特征向量、特征值
正文
向量
向量在不同的基下具有不同的表达，但无论基如何变化，有一点是共同的，这些基的原点不变。一般情况下
的表达隐含了单位矩阵
作为基，可以看作是从原点出发沿各分量相继衔接而得到，每个分量的长度为该分量
的值，即
。
向量加法和数乘
在隐含为基的情况下，
是由
和
线性组合、张成空间、线性相关，线性无关，基
线性组合：一组向量通过加法和数乘得到新向量的过程。
张成空间：向量通过线性组合得到的新向量集合。一个向量就是张成的空间就是一条与向量同方向的直线；两个不共线的向量张成一个平面；三个不共面的向量张成三维空间，等等。
线性相关：一个向量组中，存在一个向量在其他向量张成的空间中。
线性无关：一个向量组中，每一个向量都不在其他向量张成的空间中。
基：线性无关组。矩阵与线性变换
线性变换：同一个向量在不同基下的表达。要求原点不变，变换后的坐标比例均匀不扭曲。线性变换通过矩阵来实现，矩阵的每一列
代表“旧基”的第
维在“新基”下的
维坐标表示。
表示“旧基”下
维向量
在
的作用下变换为
。此时由于变换不改变向量本质，因此新向量
。
。
另：从方程的观点来看确定是否有解，相当于确定向量
是否在
矩阵乘法
矩阵代表线性变换，那么矩阵乘法代表一个向量连续的变换，代表向量
的变换最后得到
。那么
表示使用
代表
的复合变换。
行列式
矩阵倍。
表示空间发生了维度压缩，即空间在“新基”下没有体积了；
表示在线性变换过程中基的方向相反了。
矩阵逆、列空间、秩、零空间
矩阵逆：矩阵，向量
通过
，那么
。
列空间、秩：矩阵
零空间(核)：变换后是零向量（原点）的向量，即
。
点积(内积)
一个向量投影到另一个向量上的线性变换，即向量到一维的线性变换。基变换
若代表在"新基"
下进行
特征向量、特征值
特征向量：变换后的向量仍然在原向量张成的空间（直线）上，就是方向不变。
特征值：缩放的倍数。
求解：寻找使得
就是要使得矩阵
代表的变换压缩维度，即
特征基：使用特征向量作为基，此时变换变为对角阵，并不是所有的矩阵都能变换为对角阵。
参考资料
[1] https://space.bilibili.com/88461692/channel/detail?cid=9450
[2] Goodfellow.深度学习[M].人民邮电出版社,2017.
