大家都知道湖北和湖南是由于分别在洞庭湖北边和南边而得名。我的家乡是湖北省会城市——英雄城市武汉市，2019年人均收入11.55万（2020年人均GDP由于疫情大幅下滑）。如果我从武汉市开车南下，来到温泉圣地——湖北咸宁市，你可能发现人均GDP下降了，例如，下降到湖北2020年人均GDP的7.4万元，如果我继续开车南下，来到洞庭湖边，发现人均收入还在下降。当我跨过洞庭湖进入湖南省，发现收入下降了15%（湖南2020年年的人均GDP为6.3万元）。但是我仅仅只是打开车门，跑到湖南去买了一杯“茶颜悦色”，年收入少了1.1万元左右。
这是怎么回事？肯定不是因为买了一杯“茶颜悦色”而导致了收入的大幅下降，那是因为什么呢？湖北和湖南最明显的差别肯定就是省界线。省界线明确区分了湖北和湖南。但是，我们可以肯定的是，两湖地区人均收入的下降，肯定不仅仅只是因为边界线的距离。有一点还是可以想象得到，如果没有省界线，湖北湖南人的收入可能还是有差异，但差异非常有可能缩小，因此，边界线的划分可能对两湖地区的人均收入贡献较大。这就是断点回归的思想：比较边界线（断点）两侧的人均收入（结果变量），如果没有边界，人均收入可能非常接近。
自然界真的很神奇，非常的平滑：我从武汉回深圳，要么火车飞机4-5个小时，要么开车11个小时，我多么想“咻”得一下，瞬间传送到深圳，但是这是不可能，空间距离1200公里不多不少；参天大树总要经历播种、发芽、成长等一天天的成长过程，我们不能“拔苗助长”；财富积累也需要一步一步辛勤地劳动，暴发户是很少的；宇宙也非常的平滑，从地球到月球，到火星，都需要经历漫长的时间，除非遇到“黑洞”。因此，“罗马不是一天建成的”，精通计量，做出好的研究也是一样，需要持续数年，甚至数十载的静心积累与思考。
如果我们看到一个事物或现象出现“跳跃”、“尖峰”，或者其它奇怪的特征时，我们首先要质疑它们很可能不是自然的发展，而是人为的。那么，有趣的问题出现了，如果这些事物/现象仍然按照自然的方式发展（反事实），两者会有什么差异呢？这就是在探索人为干预的效应，这种人为导致的“跳跃”也是断点回归设计的核心内容。
下面，我们来看一个例子——酒精会害人吗？
我国法律法规并没有明确规定饮酒的最低年龄，只是明确禁止向未成年人销售酒精类饮品，例如酒。但是，过年的时候，家里的一些人为了逗孩子，会用筷子稍微蘸点白酒给婴幼儿常常，然后看到小孩子们辣得抽搐的表情，全家都乐呵呵的，这是为了活跃气氛，尚可。我自己不喝酒，但仍记得一句广告语：“某酒虽好，可不要贪杯哟！”
根据世卫组织统计，全球人们首次饮酒的年龄为12岁，大约有80%的粘人会在15岁前就开始定期饮用酒精类饮料。因为年轻人“很容易贪杯”，所以很多国家和地区都明确规定了最低饮酒年龄，例如，美国法定最低饮酒年龄21岁，巴西为18岁。那么，美国是否过于谨慎，应该降低法定最低饮酒年龄？还是其他国家应该提高法定最低饮酒年龄？如何判断这个问题，标准就是饮酒的社会影响是什么？有大多？Carpenter and Dobkin(2009)就从死亡率的角度研究了酒精类消费对死亡率的影响，也可以参见Carpenter and Dobkin(2011)对该问题的回顾。
从公共福利的角度来看，我们要秉持以人为本，希望尽可能地降低死亡率，而饮酒有可能会提高死亡率，所以就要限制酒精类产品的消费，最低饮酒年龄的法律法规就是这类政策措施。那么，法定最低饮酒年龄的规定对死亡率有什么影响呢？
但从饮酒这个事来说，任何年龄都可以尝试一下，例如，过年逗孩子。但法定最低饮酒年龄可能就让饮酒这件事在不同年龄间发生了某种“跳跃”。还记得吗？“跳跃”可能并不是自然形成的现象，很有可能是人为的。美国规定21岁才可以饮酒，所以21岁前不能公开饮酒，21岁后，饮酒的概率就大增了。这个时候，我们就可以使用断点回归来识别法定最低饮酒年龄对死亡率的效应。我们使用Matheus Facure Alves（2022）提供的饮酒数据，其中包括平均年龄（agecell）、所有原因造成的死亡率（all）、交通事故造成的死亡率（mva）、自杀的死亡率（suicide）。我们首先来看看，不同年龄段的死亡率：
//加载数据
use "/Users/xuwenli/Library/CloudStorage/OneDrive-个人/DSGE建模及软件编程/教学大纲与讲稿/应用计量经济学讲稿/应用计量经济学讲稿与code/RD/drinking.dta",replace
//作散点图，观测跳跃
* 所有的死亡率
twoway scatter all agecell, xline(21,lp(dash)) saving(all)
* 交通死亡率
twoway scatter mva agecell, xline(21,lp(dash)) saving(mva)
* 自杀死亡率
twoway scatter suicide agecell,xline(21,lp(dash)) saving(suicide)
graph combine all.gph mva.gph suicide.gph,col(1)
从图1可以明显看出，只要超过法定饮酒年龄21岁，所有原因导致的死亡率都“跳跃”般地上升了。这给了我们初步的、直观的经验证据。但对于评估最低饮酒年龄限制对死亡率的效应，这些证据还不够。
年龄是连续变化的，但是死亡率在21岁处跳跃，所以肯定有什么东西存在根本性的差异。
可以肯定的是，我们观察到的差异不仅仅只有年龄差异，还有就是21岁上下对饮酒的限制。这个就是断点回归背后的逻辑：仅仅比较断点两边的死亡率，如果没有这个21岁的断点，21岁上下的人可能具有基本类似的特征，如果死亡率存在差异，我们就可以认为是最低饮酒年龄政策引起的差异。因此，断点回归关注的是，断点处发生的处理/政策，在断点的一边，没有处理发生，而另一边有处理发生。
断点回归有几个核心的概念：
- 驱动变量（Running/forcing variable）：决定是否接受处理的变量，例如，你的绩点在4.8以上，就可以保研，那么，绩点就是一个驱动变量。
- 断点（Cutoff）：决定是否接受处理的驱动变量的阈值，例如，保研的断点就是4.8，在4.8以上就可以保研，4.8以下就没有保研资格；
- 带宽（Bandwidth）：断点两边一定范围内的人基本类似，这个范围就是带宽，在这个范围以外的人可能就存在一定差异，例如，4.6、4.7绩点和4.8、4.9绩点的学生在综合素质方面可能差不多，而4绩点的学生可能成绩就差得较多。另一个例子就是比较洞庭湖两侧的人均收入，如果我们再开车往南走，可能就到了广东边，广东是全国最富裕的省份之一，所以这个时候距离洞庭湖太远了，也没有可比性，因为广东太富有了，所以我们将比较的对象限定在洞庭湖两边各100公里范围，来比较这个范围内的人均收入，这个100公里就是带宽。
因此，可以将断点看做是一个局部随机试验，得到局部平均处理效应LATE。所以断点研究设计关注：（1）驱动变量如何影响结果；（2）在带宽内，断点附近的观测值；（3）比较接受处理和未接受处理的结果，得到处理差异。
断点回归对数据的要求：第一，要求处理配置规则是已知的，明确的——平滑性假设：虽然，我们感兴趣的是处理变量对结果的效应，但实际上，我们估计的是断点的效应，然后，把这个效应（模糊断点下，部分）归于处理，因此，如果断点处还有其它东西变化，那么，就会很麻烦；第二，在一定带宽内，驱动变量在断点两侧是随机配置的，不被操纵，例如，期末考试的时候，总有一些学生找老师打分，如果“跑步分高”，那保研对学生未来的影响效应就识别不出来了；第三，设置断点值的人，不能根据接受处理的人来做出调整和响应；第四，大样本量是RDD的特征，因为要挑选一定范围内的样本来比较，因此，严重限制了样本量，会使得估计不精确，如果引入更多的数据，又会带来误差。实践中，可以在做断点回归前，先做做power分析来看看是否有足够的观测值来精确估计因果效应。
断点回归为什么好？从图2中就可以明显看出来，我们感兴趣的是，处理---结果的效应，但是驱动变量、控制变量都可能混淆处理效应，从而识别不干净，但是，理论上来讲，断点回归可以控制住“驱动变量”，从而关闭所有混淆因子路径，进而干净地识别处理效应。
那么，断点回归具体怎么做呢？且听下回分解！
未完待续。。。
