第二宇宙速度

决定速度函数是否为超越曲线的初速度
$\large \begin{aligned} \because& F_引\propto\frac{1}{r^2}\\ &设在物体受到地球引力为P \\ \therefore& |P|:mg=R^2:x^2\\ &P=-\frac{mgR^2}{x^2}\\ \end{aligned}\\$
设物体的加速度为 $\ddot{x}$ ，则有：
$\large -\frac{mgR^2}{x^2}=m\ddot{x}\\ \large \because \ddot{x}=\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}\\ \large -\frac{gR^2}{x^2}{dx}=vdv\\$
对上式进行积分，设 $t=0$ 时初始速度为 $v_0$ ， $x_0=R$
$\large \int\limits_{R}^{x}-\frac{gR^2}{x^2}{dx}=\int\limits_{v_0}^{v}vdv\\ \large gR^2(\frac{1}{x}-\frac{1}{R})=\frac{v^2-v_0^2}{2}\\ \large v=\sqrt{\underbrace{v_0^2-2gR}_{1}+\underbrace{\frac{2gR^2}{x}}_{2}}s$
说明：

决定是否能脱离地球，当 $v_0$ 确定后，1为常量
无穷小量， $\lim_{x\to\infty}\frac{2gR^2}{x}=0$

当 $v_0\ge2gR$ 时， $v>0$ ，物体永远不会改变运动方向，
$\lim_{x\to\infty}v=\sqrt{v_0^2-2gR}$
当 $v_0<2gR$ 时，物体不能不停地向前运动，在 $v$ 的表达式有意义的条件下， $x$ 有上限：
$\large 0=\sqrt{v_0^2-2gR+\frac{2gR^2}{x_{max}}}\\ \large x_{max}=\dfrac{2gsR^2}{2gR-v_0^2}$

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