数模(3)：线性、多项式、简单曲线拟合

1.线性函数拟合

先来看最简单的例子，对于线性函数 $y=ax+b$ ，可以使用最小二乘法来确定a、b两个系数。对于N个点，x值对应函数值与y值的差值平方和（残差平方和）作为目标函数，分别对a、b求偏导，令偏导为0，得到两个方程，联立解得系数。

设有N个点坐标为 $(x_i,y_i),i=1,2,...,N$ ，则残差平方和为 $\sum_{i=1}^N(ax_i+b-y_i)^2$ ，展开来就是 $(ax_1+b-y_1)^2+(ax_2+b-y_2)^2+...+(ax_N+b-y_N)^2$ ，分别对a、b求偏导并令偏导为0得两个方程：

$\sum_{i=1}^{N}(ax_i+b-y_i)x_i=0$
$\sum_{i=1}^{N}(ax_i+b-y_i)=0$

联立以上两个方程即可求解。

2.可化成线性函数的曲线拟合

幂函数拟合、双曲线（在一三象限的那种形式）拟合、指数函数拟合、对数函数拟合，都可以利用最小二乘法来解决。但是这些函数的偏导数可能很复杂，列出的方程组是非线性方程组，解算较为困难。因此我们需要通过变换点坐标把这些曲线转化为线性函数。

幂函数的一般方程为 $y=ax^b$ ，两边取对数可变换为 $lny=blnx+lna$ ，换元可得 $y'=bx'+a'$ 。对每个点(x,y)的x值和y值取对数可得到(x',y')，化为线性函数拟合问题。

双曲线的一般方程为 $y=\frac{1}{ax+b}$ ，两边取倒数可变换为 $\frac{1}{y}=ax+b$ ，换元得 $y'=ax+b$ 。对每个点(x,y)的y值取倒数即可得到(x,y')，化为线性函数拟合问题。

指数函数的一般方程为 $y=ae^{bx}$ ，两边取自然对数可变换为 $lny=lna+bx$ ，换元得 $y'=a'+bx$ 。对每个点(x,y)的y值取对数即可得到(x,y')，化为线性函数拟合问题。

对数函数的一般方程为 $y=alnx+b$ ，换元得 $y=ax'+b$ 。对每个点(x,y)的x值取对数即可得到(x',y)，化为线性函数拟合问题。

3.系数间为线性关系的曲线拟合

再来看个例子 $y=ae^x+bsinx+cx^3$ ，虽然这不是一个线性函数，也不能通过坐标变换化成线性函数，但如果设x为常量，a、b、c为变量，则a、b、c三个系数之间是线性关系的，因此残差平方和求偏导后得到的方程组依然是线性方程组。

设有N个点坐标为 $(x_i,y_i),i=1,2,...,N$ ，则残差平方和为 $\sum_{i=1}^N(ae^{x_i}+bsinx_i+cx_i^3-y_i)^2$ ，展开来就是 $(ae^{x_1}+bsinx_1+cx_1^3-y_1)^2+(ae^{x_2}+bsinx_2+cx_2^3-y_2)^2+...+(ae^{x_N}+bsinx_N+cx_N^3-y_N)^2$ ，分别对a、b、c求偏导并令偏导为0得三个方程：

$\sum_{i=1}^N(ae^{x_i}+bsinx_i+cx_i^3-y_i)e^{x_i}=0$
$\sum_{i=1}^N(ae^{x_i}+bsinx_i+cx_i^3-y_i)sinx_i=0$
$\sum_{i=1}^N(ae^{x_i}+bsinx_i+cx_i^3-y_i)x_i^3=0$

联立以上三个方程即可求解。

典例：n阶多项式拟合

n阶多项式拟合同样采用最小二乘法。大体思路是对于N个点，用n+1个待定系数设出函数，将残差平方和作为目标函数，分别对n+1个系数求偏导，令偏导为0，得到n+1个方程，联立解得系数。

设有N个点坐标为 $(x_i,y_i),i=1,2,...,N$ ，设n次函数 $f(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$ ，则其残差平方和为 $\sum_{i=1}^N\sum_{k=0}^{n}(a_kx_i^k-y_i)^2$ ，展开来就是 $(a_0+a_1x_1+...+a_nx_1^n-y_1)^2+(a_0+a_1x_2+...+a_nx_2^n-y_2)^2+...+(a_0+a_1x_N+...+a_nx_N^n-y_N)^2$ ，设其对aj求偏导并令偏导等于0，得 $2(a_0+a_1x_1+...+a_nx_1^n-y_1)x_1^j+2(a_0+a_1x_2+...+a_nx_2^n-y_2)x_2^j+...+2(a_0+a_1x_N+...+a_nx_N^n-y_N)x_N^j=0$ ，整理得 $\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=0}^{n}a_kx_i^{j+k}-\sum_{i=1}^{N}y_ix_i^j=0,j=0,1,...,n$ ，可见j有n+1个取值，将n+1个点代入可以列出n+1个线性方程，利用线性代数知识可以解出系数值。

4.n阶多项式拟合实例

本实例演示使用python进行n阶多项式拟合，线性函数拟合其实就是一阶多项式拟合，而非线性函数拟合实例则放到下一期进行讲解。

1999-2004年长江排污量如下表：

年份	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
排污量/亿吨	174	179	183	189	207	234	220	256	270	285

用二次多项式来拟合以上数据，python代码如下：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot

num=int(input())
x=[]
y=[]
for i in range(0,num):
    x.append(int(input()))
    y.append(int(input()))
z1 = np.polyfit(x, y, 2)
z = np.polyval(z1, x)
print(z1)

pyplot.plot(x,y,'.')
pyplot.plot(x,z,'-')
pyplot.show()

得到模型为 $y=0.84x^2-3349.94x+3336464.85$ ，图像如下：

Figure_1.png