Brown, N., Butts, K., & Westerlund, J. (2023). Simple difference-in-differences estimation in fixed-T panels. arXiv preprint arXiv:2301.11358.

从我入门新DID开始，一直关注Butts，DID领域的新星，编程也很厉害。

介绍

在计量经济学领域，评估处理或干预措施的因果效应是一项根本性的挑战。双重差分法 (DID) 已成为实现这一目标的基石技术，使研究人员能够通过比较处理组和对照组结果随时间的变化来评估处理效果。然而，传统的双重差分法依赖于平行趋势假设，而该假设在实际应用中常常并不成立，因为存在一些未观察到的时变因素，这些因素会影响处理选择和结果。

这篇由Brown, N., Butts, K., & Westerlund, J撰写的论文介绍了一种新方法，该方法通过将共同相关效应 (CCE) 框架与双重差分 (DID) 方法相结合来解决这些局限性。当交互固定效应导致平行趋势假设不成立，以及时变协变量受到处理本身的影响时，这种结合方法可以实现更稳健的处理效应估计。

差异框架

DID 方法通过比较处理前后处理组和对照组结果的差异来估计处理效应。该方法依赖于一个关键假设：在没有处理的情况下，两组之间的差异将随时间保持不变（平行趋势）。

从数学上讲，标准 DID 模型可以表示为：

$Y_{it}=\alpha_i+\lambda_t+\tau D_{it}+\epsilon_{it}$

在哪里：

$Y_{it}$ 是它是个体i的结果在时间t的结果
$\alpha_i$ 表示特定个体的固定效应
$\lambda_t$ 表示特定时间的固定效应
$D_{it}$ 是处理指标
$\tau$ 是处理效应

在这个框架中，个体固定效应捕捉处理组组和对照组之间的时间不变差异，而时间固定效应捕捉所有个体共同的时间趋势。

传统DID方法的局限性

作者强调了传统 DID 方法的两个主要局限性：

交互固定效应：在许多现实世界场景中，时间效应的影响可能因处理的不同而在不同个体间存在差异。这违反了平行趋势假设，因为它意味着即使在没有处理的情况下，处理组和对照组也会遵循不同的轨迹。
受处理影响的协变量：时变协变量本身可能会受到处理的影响，如果这些协变量直接纳入模型，则会产生处理后偏误。

为了解决这些问题，本文提出了一个模型，其中未处理的潜在结果遵循交互固定效应结构：

$Y_{it}(0)=X_{it}(0)' \beta+\lambda_t'F_i+\epsilon_{it}$

在哪里：

$Y_{it}(0)$ 是未处理的潜在结果
$X_{it}(0)$ 表示未处理的情况下随时间变化的协变量
$\lambda_t$ 是共同时间效应
$F_i$ 是个体异质的因子载荷

该公式允许通过交互项 $\lambda_t'F_i$ 对不同个体的共同时间效应做出异质性响应。

共同相关效应CCE方法

本文的关键创新在于将最初由Pesaran (2006) 提出的共同相关效应 (CCE) 方法应用于双重差分 (DID) 框架。CCE 方法假设未处理的结果和协变量在相同的共同时间效应下呈线性关系。

作者假设协变量的数据生成过程可以表示为：

$X_{it}(0)=\Pi_i' \lambda_t+\nu_{it}$

其中 $\Pi_i$ 表示协变量的因子载荷，并且 $\nu_{it}$ 是一个误差项。

此外，作者允许处理后的潜在协变量随处理状态而改变：

$X_{it}(1)=X_{it}(0)+\delta_{it}$

其中， $\delta_{it}$ 表示处理对协变量的影响。

CCE 方法使用从未处理过的样本的结果和协变量的横截面平均值作为未观察到的共同因素的代理变量。这种方法特别有价值，因为它即使在时期数固定的情况下也能发挥作用，因此，与需要较长时期的方法相比，它适用于更广泛的实证环境。

CCE-DID估计量

本文提出了一种 CCE DID（CCEDID）估计量，分四个步骤进行：

使用从未处理过的样本的结果和协变量变量的横截面平均值来构建共同因素的代理变量：

$\bar{Z}_t=\frac{1}{N_0} \sum_{i \in C} Z_{i t}$

其中，C表示从未处理过的个体，并且 $Z_{i t}$ 包括结果和协变量。

使用 OLS 估计协变量和异质因子载荷对处理前的局部效应：

$Y_{i t}=X_{i t}^{\prime} \beta+\bar{Z}_t^{\prime} \gamma_i+\varepsilon_{i t}, \quad t \in \text { pre-treatment periods }$

插补法得到处理后的已处理个体的未处理潜在协变量。此步骤解决了协变量受处理影响的问题。
估计处理后处理组未处理的反事实潜在结果：

$\hat{Y}_{i t}(0)=X_{i t}(\hat{0})^{\prime} \hat{\beta}+\bar{Z}_t^{\prime} \hat{\gamma}_i$

然后将处理效应作为观察到的处理结果与估算的未处理潜在结果之间差分的平均：

$\hat{\tau}=\frac{1}{N_1 T_1} \sum_{i \in T} \sum_{t \in \mathrm{post}}\left[Y_{i t}-\hat{Y}_{i t}(0)\right]$

其中， $T$ 代表已处理个体，“post”指处理后时期。

处理效应分解

该论文的一个重要贡献是将总处理效应分解为直接效应和中介效应：

$\tau=\tau^{\text {direct }}+\tau^{\text {mediated }}$

其中：

$\tau^{\text {direct }}$ 是处理对结果的直接影响，保持协变量不变
$\tau^{\text {mediated }}$ 表示通过改变协变量而产生的中介处理效应

这种分解有助于研究人员了解处理效应结果的机制，从而更深入地了解其中的因果机制。

相较于现有方法的优势

CCEDID 估计量与现有方法相比具有几个优点：

放宽假设：与传统的 DID 方法不同，CCEDID 估计量不需要平行趋势假设，因此它适用于更广泛的经验研究。
固定时间段：与 Chan 和 Kwok (2022) 和 Bai (2009) 提出的方法不同，CCEDID 估计量不需要时间数增长到无穷大即可应用渐近理论。
无需IV：与 Callaway 和 Karami (2020) 不同，CCEDID 估计量不需要时间不变IV。
计算效率：与涉及过度识别 GMM 问题的 Brown 和 Butts (2022) 相比，CCEDID 估计来那个的计算负担较小。
稳健性：CCEDID估计量对模型声明具有稳健性，并且不需要估计因素的数量，这在实践中通常很困难。

实际实施

CCEDID估计量的实现相对简单，方便应用研究人员使用。其流程可以概括为以下几个步骤：

确定从未接受过处理的个体组成对照组。
计算该对照组的结果和协变量的横截面平均值。
使用处理前数据估计模型参数。
在处理后为处理组推断反事实的未处理结果。
将处理效应计算为观察到的结果和推断结果之间的差异。

该实施过程可以使用标准计量经济学软件来执行，使得各个领域的研究人员都可以使用该方法。

结论

Brown、Butts 和 Westerlund 的论文代表了在复杂环境下评估处理效应的方法论的重大进展。通过将共同相关效应方法与DID相结合，作者为交互固定效应和处理影响协变量的问题提供了强有力的解决方案。

CCEDID 估计量与现有方法相比具有多项优势，包括宽松的假设、适用于固定时间段的设置以及计算效率。此外，将处理效果分解为直接和中介成分，使研究人员能够更深入地了解其中的因果机制。

随着实证研究者越来越多地遇到传统双重差分假设 (DID) 不成立的情况，CCEDID 估计量提供了一个获取可靠处理效果估计的宝贵工具。该方法相对简单易行，可供经济学、公共卫生和教育等各个领域的研究人员使用，从而有可能对政策和干预措施进行更准确、更翔实的评估。

【应用计量系列175】时变协变量和不可观测因素：DID-CCE