如果还记得我在工作论文《事件研究的秘密》（B站讲座视频）中有关处理不可观测混淆因子的内容，大家可能对这个“共同相关效应（common correlated effects）”并不陌生。
首先，我们来回顾一下，在线性回归中，经验研究者面临的最重要问题可能就是如何处理混淆因子，尤其是不可能观测的时变因子。近些年来，面板事件研究法越来越流行，其方程形式为：
其中，是可观测协变量，
是处理变量，
表示不可观测的时变混淆因子，
表示不可观测异质的时变混淆因子。Simon Freyaldenhoven et al.（2022）阐述过四种情形。为了简化，假设
，即不存在时变异质混淆因子。另外三种情形分别为：
（1）当宏观冲击（对所有个体共同的冲击），也就是不存在共同的宏观冲击时，上述事件研究就是最常见的TWFE-event study。此时，不可观测的个体固定效应和时间固定效应就可以控制不可观测的混淆因子。时间固定效应
表示宏观层面的混淆因子的效应，且这些宏观层面混淆因子都以相同的方式影响所有的个体。这就排除了可能依赖于个体特征的宏观因子的影响。
（2）当宏观冲击（对所有个体共同的冲击），
是已知的时间趋势函数。
可以采用线性时间函数
，也可以是时间的多项式，例如二次时间函数等等。采用这种方式来控制不可观测的时变混淆因子，研究者认为混淆因子有确定的时间趋势，参见安神的《功夫计量》相关内容。
（3）当宏观冲击（对所有个体共同的冲击）的函数形式未知。这可能是现实中最常见的情形。因为我们并不是全知全能的，总有一些未知的因素存在，且对结果变量的影响也未知。最直观的形式就是，
本身与Bai（2009）的交互固定效应相似，因此，可以控制交互固定效应来控制这类混淆因子。还可以使用合成控制法，因为SC本身也是一个因子模型。
第三种情形，除了上述两种方法外，还可以使用Pesaran（2006）提出的“共同相关效应（common correlated effects）”估计量。这个估计量本身也有stata包，大家可以去看看，但这个包暂时处理不了DID的问题。我在去年初写《事件研究的秘密》时，计划将CCE的想法融入DID，但国外已经有一篇未完工作论文（work in progress）。今天就向大家介绍一下主要内容。
BBW（2023）提出了一种插补估计量（用于固定的时期）。他们首先使用了Pesaran（2006）的CCE，即消除不可观测因子的回归估计量。假设存在许多协变量有线性效应，取这些协变量和结果变量的截面平均值作为pooled回归的固定效应（与Wooldridge（2021,2022）提出的TW-Mundak模型相似）。混合CCE估计量已经被许多学者证明了渐进正态性，而且它允许灵活的方法来应对基于交互效应和时变协变量的平行趋势。
具体来说，（1）BBW（2003）用来自于未处理组的结果和独立变量的截面均值来构造共同因子；
（2）然后，估计异质因子载荷下的协变量的局部效应；
（3）最后，用协变量系数、不可观测因子和因子载荷的估计量来估计处理后时期的未处理反事实潜在结果。
一旦我们得到反事实结果，就可以用处理后的实际结果减去反事实结果，从而得到处理后的ATT。
上述过程非常简单明了，也易于实施。以后有机会，我再给出应用的工作论文。
关于这篇最新的未完成wp，后续会持续关注，推荐给大家。
