导数压轴题分析与解——2018年全国卷理数2

已知函数 $f(x)=e^{x}-a x^{2}$ .
(1) 若 $a=1$ ，证明:当 $x \geqslant 0$ 时 $, f(x) \geqslant 1$
(2) 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 只有一个零点，求 $a$ .

(1)当 $a=1$ 时， $f(x)=e^{x}- x^{2}$ ， $f'(x)=e^x-2x$ ， $f''(x)=e^x-2$ ，

$x\in[0,\ln2)$ 时， $f''(x)<0$ ， $x\in(\ln2,+\infty)$ 时， $f''(x)>0$ ，

所以 $f'(x)$ 在 $[0,\ln2)$ 单减，在 $(\ln2,+\infty)$ 单增，则 $f'(x)\geqslant f'(\ln2)=2-2\ln2>0$ ，

所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 单增，则 $f(x)\geqslant f(0)=1$ ，证毕.

(2)

法一（直接讨论）

设函数 $h(x)=1-a x^{2} e^{-x}$

$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 只有一个零点当且仅当 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 只有一个零点.

(i) 当 $a \leqslant 0$ 时， $h(x)>0$ ， $h(x)$ 没有零点；
(ii) 当 $a>0$ 时， $h^{\prime}(x)=ax (x-2) e^{-x}$ ，
当 $x \in(0,2)$ 时候， $h^{\prime}(x)<0$ ，当 $x \in(2,+\infty)$ 时， $h'(x)>0$ ，

所以 $h(x)$ 在 $(0,2)$ 单减，在 $(2,+\infty)$ 单增.

所以 $h_\min(x)=h(2)=1-\dfrac{4a}{e^2}$ （♣）.

①若 $h(2)>0$ ， $h(x)$ 无零点；

②若 $h(2)=0$ ，即 $a=\dfrac{e^2}{4}$ ， $h(x)$ 只有一个零点；

③若 $h(2)<0$ ，即 $a>\dfrac{e^2}{4}$ 时， $h(0)=1>0$ ， $h(4 a)=1-\dfrac{16 a^{3}}{e^{4}}=1-\dfrac{16 a^{3}}{\left(e^{2}\right)^{2}}>1-\dfrac{16 a^{2}}{(2 a)^{4}}=1-\dfrac{1}{a}>0$ ；
由零点定理结合函数单调性， $h(x)$ 在 $(0,2)$ ， $(2,4a)$ 各有一个零点.
综上， $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 只有一个零点时, $a=\dfrac{e^{2}}{4}$ .