曲线与方程

一.曲线与方程的概念

课后习题

  1. 设曲线\displaystyle C的方程为( x-1)^{2} +( y-2)^{2} =1,直线\displaystyle L的方程为x+y-2=0, 点\displaystyle P的坐标为\left(\text{2,} 1\right),那么___________.
    A.点\displaystyle P在直线\displaystyle L上,但不在曲线\displaystyle C上.
    B.点\displaystyle P在曲线\displaystyle C上,但不在直线\displaystyle L上
    C.点\displaystyle P既在曲线\displaystyle C上,又在直线\displaystyle L上
    D.点\displaystyle P既不在曲线\displaystyle C上,又不在\displaystyle L上
     
  2. 方程( 2x+3y-1)\left(\sqrt{x-3} -1\right) =0表示的曲线是___________.
    A.两条直线 B.两条射线 C.两条线段 D.一条直线和一条射线.
     
  3. 曲线y=x^{2}与直线y=kx-1无交点,则k的取值范围是___________.
     
  4. 曲线y=x^{2} -x+2和y=x+b有两个不同的交点则\displaystyle b的取值范围___________.
     
  5. 已知函数y=\frac{1}{x}的图像与函数y=\sqrt{9-x^{2}}图像有两个交点( x_{1} ,y_{1}),（x_{\text{2,}} y_{2}）则x_{1} -y_{1} +x_{2} -y_{2}值为___________.
     
  6. 曲线y=| x|与x^{2} -( y-1)^{2} =1的交点坐标___________.
     
  7. 直线y=x+1被y=\frac{1}{2} x^{2}截得的线段长为___________.
     
  8. 做出( x+y)\left( x-\sqrt{1-y}\right) =0的曲线.
     
     
     
     
     
     
  9. 设直线y=mx与曲线y=| x+1|无交点,求\displaystyle m的取值范围.
     
     
     
     
     
     

二.求曲线的方程

题型一:直接法

  1. 下列命题正确的是___________.
    A.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x-y=0;
    B.已知三点A\left(\text{0,} 3\right),B\left( -\text{2,} 0\right),C\left(\text{2,} 0\right),\vartriangle ABC中线AO的方程为x=0;
    C.等腰三角形顶点A的坐标是\left(\text{4,} 2\right),底边一个端点的坐标是\left(\text{3,} 5\right),另一个端点C的轨迹方程为( x-4)^{2} +( y-2)^{2} =10;
    D.到两坐标轴距离之积为定值\displaystyle 1的点的轨迹方程为\displaystyle xy=\pm 1.
     
  2. 与两坐标轴相切的动圆圆心的轨迹为___________.
     
  3. 平面内到点F( 1,1)和到直线l:x+2y-3=0距离相等的点的轨迹是___________.
    A.抛物线 \ \ B.直线 \ \ C.圆 \ \ \ D.双曲线
     
  4. 已知两定点A\left( -\text{1,} 0\right),B\left(\text{1,} 0\right),动点P满足\frac{| PA| }{| PB| } =\frac{1}{2},则P点的轨迹方程___________.
     
  5. 动点到两坐标轴的距离之和的两倍等于这个动点到原点距离的平方,则动点的轨迹方程___________.
    A.x^{2} +y^{2} =2x+2y
    B.x^{2} +y^{2} =2x-2y
    C.x^{2} +y^{2} =-2x+2y
    D.x^{2} +y^{2} =2| x| +2| y|
     
  6. 一动点P到圆x^{2} +y^{2} =1的最短距离等于它到x轴的距离,求动点P的轨迹方程.
     
     
     
     
     
     
  7. 求圆x^{2} +y^{2} =r^{2}内长度为定值2的弦的中点P的轨迹方程.
     
     
     
     
     
     
  8. 已知直角坐标平面上的点Q\left(\text{2,} 0\right)和圆C:x^{2} +y^{2} =1,动点M到圆C切线长与|MQ|的比等于常数\displaystyle \lambda ( \lambda >0),求切点M的轨迹方程,并说明表示什么曲线.
     
     
     
     
     
     
  9. 一个动圆M过定点F\left(\text{1,} 0\right),且与定圆x+1^{2} +y^{2} =16相切,求动圆圆心的轨迹方程.
     
     
     
     
     
     

题型二:转移代入

  1. 曲线y^{2} =4x关于直线x=2对称的曲线方程是___________.
    A.y^{2} =8-4x
    B.y^{2} =4x-8
    C.y^{2} =16-4x
    D.y^{2} =4x-16
     
  2. 已知圆x^{2} +y^{2} =4和两点A\left(\text{0,} 4\right),B\left(\text{4,} 0\right)当点C在圆上运动时,求\Delta ABC的重心轨迹方程.
     
     
     
     
     
     
  3. \displaystyle P是曲线C: \frac{x^{2}}{9} +\frac{y^{2}}{4} =1上任意一点,其中F_{1}\left(\sqrt{5} ,0\right), F_{2}\left( -\sqrt{5} ,0\right),O为坐标原点,\overrightarrow{OQ} =\overrightarrow{PF_{1}} +\overrightarrow{PF_{2}}则动点Q的轨迹方程.
     
     
     
     
     
     
  4. M为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A\left(\text{4,} 2\right)为一定点,又点P在直线AM上,且\overrightarrow{AM} \ =4\overrightarrow{MP},求点P的轨迹方程.
     
     
     
     
     
     

题型三:消参法

  1. 求动圆( x-\cos \theta )^{2} +( y-\sin \theta )^{2} =1圆心的轨迹方程___________.
     
  2. 已知圆x^{2} +y^{2} =1和一定点C\left(\text{2,} 0\right),过C的直线与圆交于A,B两点,求AB中点N的轨迹方程.
     
     
     
     
     
     
  3. 已知A\left(\text{0,} 5\right),动线段BC在x轴上运动,且长度为6,求\triangle ABC外心的轨迹方程.
     
     
     
     
     
     

题型四:交轨法

  1. 两条直线ax+y+1=0和x-ay-1=0( a\neq \pm 1)的交点轨迹方程___________.
     
  2. 已知三点A\left( -\text{4,} 0\right),B\left(\text{4,} 0\right),F\left(\text{8,} 0\right)和直线l:x=2,过点F作互相垂直的两条直线分别交l于C,D两点,直线AC与BD交于点P,求点P的轨迹方程.
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