有这样一个故事，炎炎夏日，我想去商店买冰淇淋，当然，在我走完一半路程之前，我不可能到达商店，在我走完一半路程之后，如果我不接着走完剩下路程的一半，我还是无法到达商店。每次我都要先走完剩下路程的一半才有可能到达商店，如此循环，我会越来越接近商店，但我无论走完多少半程，永远无法到达冰淇淋店，我与冰淇淋店店之间永远都有一段非常小但不等于零的距离。但对于此刻正美美的吃着冰淇淋的我来说，这个故事显然只会发生在想象中。
其实这个故事的学名叫芝诺悖论，虽然原始的故事不是这么讲的，可能是因为那时候还没有冰淇淋。如果故事是真的，那所有的运动都不可能实现了。很开心的是我只需要走两步就完美的驳斥了这个故事，但故事的问题在哪里呢，为什么看上去好像很有道理呢？
我们可以利用数字把商店之行分成若干份，我们先走一半，即1/2,然后走剩下路程的一半，即全程的1/4，接着1/8,1/16,1/32......。走完商店的过程就是：
1/2 + 1/4+1/8 + 1/16+.....
把这个数列的前10项相加约等于0.999，前20项求和大约是0.999999，但无论我们加多少项，都无法得到1。这就引出了数学中的另一个难题，循环小数0.999999.....是否等于1？
如果是之前的冰淇淋问题，我们只需要走两步，但对于这个数字问题，可能很多人会觉得这个循环小数看上去不等于1，要小一点，这个循环小数与1越来越接近，但可能永远无法等于1。
但事实是它们是相等的，比如下面这些数学证明方法：
0.3333......=1/3
两边同时乘以3，我们会得到
0.9999......=1
这个证明看上去好有道理，但严格意义上讲这并不算一个证明，它不能消除疑虑去相信0.9999......等于1，而只是让我们接受0.3333......=1/3这个等式。那么0.9999......究竟是什么呢？这个无穷小数可以看做下面数字求和
0.9+0.09+0.009+......
如果这些数字是有限的，两个、三个、1000个数字求和，结果肯定不会引起争议，问题就在于无穷多个数字求和是多少呢？根本没有，除非我们为它赋予一个值，19世纪20年代，数学家柯西完成了这次创新，引入了极限的概念。在柯西之前，面对这样的数字求和问题，人们首先想到的是结果是多少，而重来没有人思考怎样定义这个问题。
本文并非讨论该怎样证明这个数学问题，只是去尝试了解下问题的思考过程，为什么我们的直觉有时会犯错。比如下面这道找规律题
0.9<1,
0.99<1,
0.999<1
...
我们会不会理所当然的得到0.9999......<1呢,显然，我们忽略了前面给出的条件是针对有限小数的，而我们给出的结论却是无穷。这是两个不同的维度，而我就是那个被数学这座大山压住的小猴子，但为了生存，我已成功甩锅给了省略号，都是因为省略号迷惑了我的双眼。
虽然很多时候我们直觉的想法会被现实啪啪啪打脸，但败给数学，我心服口服，相信能看我啰嗦这么多的一定是对真理有着追求的人，一定非常想知道严格的数学证明是什么样的，请参考这是本书 附录2，对于我这样非数学专业的人来说，我选择抱数学的大腿，相信这个结论。
