《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作。现传本的成书大约是公元1世纪的下半叶。
《九章算术》包括近百条一般性的抽象公式、解法,246个应用问题,分属方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章,每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤,但没有证明),有的是一题一术,有的是多题一术或一题多术。它涉及农业、商业、工程、测量,方程的解法以及直角三角形的性质,共九章。
《九章算术》主要内容包括分数四则和比例算法,各种面积和体积的计算,关于勾股测量的计算等。在代数方面,《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则,书中关于线性方程(方程组)的解法和现在中学讲授的方法基本相同。“算术”在西汉时期是数学书的代用名词,算字的原意是计算用的竹筹即小竹棍。“算术”本意是应用算筹计算的方法,这里的算术包含当时的全部数学知识与计算技能,这与现代算术的意义是不相同的。
《九章算术》以计算为中心,在应用问题中把理论与实际相结合的特点直影响着中国数学的发展。它的一些成就如十进位制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯,并通过这些国家传到欧洲,促进了世界数学的发展。方田章提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式;分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。后者比欧洲早1400多年。
粟米章提出比例算法,称为今有术;衰分章提出比例分配法则,称为衰分术商功章除给出了各种立体体积公式外,还有工程分配方法;均输章用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法,构成了包括今天正反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。
少广章介绍开平方、开立方的方法,其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。盈不足章提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题,以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果,传到西方后,影响极大。
方程章采用分离系数的方法表示线性方程组,相当于现在的矩阵;解线性方程组时使用的直除法,与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方,直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数,并提出了正负术—正负数的加减法则,与现今代数的法则完全相同;解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。
这是世界数学史上项重大的成就,第一次突破了正数的范围,扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数勾股章提出了勾股数问题的通解公式:若a、b、C分别是勾股形的勾、股、弦,则a²+b²=c²
