softmax的基本概念

分类问题
一个简单的图像分类问题，输入图像的高和宽均为2像素，色彩为灰度。
图像中的4像素分别记为 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 。
假设真实标签为狗、猫或者鸡，这些标签对应的离散值为 $y_1, y_2, y_3$ 。
我们通常使用离散的数值来表示类别，例如 $y_1=1, y_2=2, y_3=3$ 。
权重矢量
$\begin{aligned} o_1 &= x_1 w_{11} + x_2 w_{21} + x_3 w_{31} + x_4 w_{41} + b_1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} o_2 &= x_1 w_{12} + x_2 w_{22} + x_3 w_{32} + x_4 w_{42} + b_2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} o_3 &= x_1 w_{13} + x_2 w_{23} + x_3 w_{33} + x_4 w_{43} + b_3 \end{aligned}$

神经网络图
下图用神经网络图描绘了上面的计算。softmax回归同线性回归一样，也是一个单层神经网络。由于每个输出 $o_1, o_2, o_3$ 的计算都要依赖于所有的输入 $x_1, x_2, x_3, x_4$ ，softmax回归的输出层也是一个全连接层。

Image Name

$\begin{aligned}softmax回归是一个单层神经网络\end{aligned}$

既然分类问题需要得到离散的预测输出，一个简单的办法是将输出值 $o_i$ 当作预测类别是 $i$ 的置信度，并将值最大的输出所对应的类作为预测输出，即输出 $\underset{i}{\arg\max} o_i$ 。例如，如果 $o_1,o_2,o_3$ 分别为 $0.1,10,0.1$ ，由于 $o_2$ 最大，那么预测类别为2，其代表猫。

输出问题
直接使用输出层的输出有两个问题：
1. 一方面，由于输出层的输出值的范围不确定，我们难以直观上判断这些值的意义。例如，刚才举的例子中的输出值10表示“很置信”图像类别为猫，因为该输出值是其他两类的输出值的100倍。但如果 $o_1=o_3=10^3$ ，那么输出值10却又表示图像类别为猫的概率很低。
2. 另一方面，由于真实标签是离散值，这些离散值与不确定范围的输出值之间的误差难以衡量。

softmax运算符（softmax operator）解决了以上两个问题。它通过下式将输出值变换成值为正且和为1的概率分布：

$\hat{y}_1, \hat{y}_2, \hat{y}_3 = \text{softmax}(o_1, o_2, o_3)$

其中

$\hat{y}1 = \frac{ \exp(o_1)}{\sum_{i=1}^3 \exp(o_i)},\quad \hat{y}2 = \frac{ \exp(o_2)}{\sum_{i=1}^3 \exp(o_i)},\quad \hat{y}3 = \frac{ \exp(o_3)}{\sum_{i=1}^3 \exp(o_i)}.$

容易看出 $\hat{y}_1 + \hat{y}_2 + \hat{y}_3 = 1$ 且 $0 \leq \hat{y}_1, \hat{y}_2, \hat{y}_3 \leq 1$ ，因此 $\hat{y}_1, \hat{y}_2, \hat{y}_3$ 是一个合法的概率分布。这时候，如果 $\hat{y}_2=0.8$ ，不管 $\hat{y}_1$ 和 $\hat{y}_3$ 的值是多少，我们都知道图像类别为猫的概率是80%。此外，我们注意到

$\underset{i}{\arg\max} o_i = \underset{i}{\arg\max} \hat{y}_i$

因此softmax运算不改变预测类别输出。

计算效率
- 单样本矢量计算表达式
  为了提高计算效率，我们可以将单样本分类通过矢量计算来表达。在上面的图像分类问题中，假设softmax回归的权重和偏差参数分别为

$\boldsymbol{W} = \begin{bmatrix} w_{11} & w_{12} & w_{13} \\ w_{21} & w_{22} & w_{23} \\ w_{31} & w_{32} & w_{33} \\ w_{41} & w_{42} & w_{43} \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix},$

设高和宽分别为2个像素的图像样本 $i$ 的特征为

$\boldsymbol{x}^{(i)} = \begin{bmatrix}x_1^{(i)} & x_2^{(i)} & x_3^{(i)} & x_4^{(i)}\end{bmatrix},$

输出层的输出为

$\boldsymbol{o}^{(i)} = \begin{bmatrix}o_1^{(i)} & o_2^{(i)} & o_3^{(i)}\end{bmatrix},$

预测为狗、猫或鸡的概率分布为

$\boldsymbol{\hat{y}}^{(i)} = \begin{bmatrix}\hat{y}_1^{(i)} & \hat{y}_2^{(i)} & \hat{y}_3^{(i)}\end{bmatrix}.$

softmax回归对样本 $i$ 分类的矢量计算表达式为

$\begin{aligned} \boldsymbol{o}^{(i)} &= \boldsymbol{x}^{(i)} \boldsymbol{W} + \boldsymbol{b},\\ \boldsymbol{\hat{y}}^{(i)} &= \text{softmax}(\boldsymbol{o}^{(i)}). \end{aligned}$

小批量矢量计算表达式
为了进一步提升计算效率，我们通常对小批量数据做矢量计算。广义上讲，给定一个小批量样本，其批量大小为 $n$ ，输入个数（特征数）为 $d$ ，输出个数（类别数）为 $q$ 。设批量特征为 $\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}$ 。假设softmax回归的权重和偏差参数分别为 $\boldsymbol{W} \in \mathbb{R}^{d \times q}$ 和 $\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{1 \times q}$ 。softmax回归的矢量计算表达式为

$\begin{aligned} \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W} + \boldsymbol{b},\\ \boldsymbol{\hat{Y}} &= \text{softmax}(\boldsymbol{O}), \end{aligned}$

其中的加法运算使用了广播机制， $\boldsymbol{O}, \boldsymbol{\hat{Y}} \in \mathbb{R}^{n \times q}$ 且这两个矩阵的第 $i$ 行分别为样本 $i$ 的输出 $\boldsymbol{o}^{(i)}$ 和概率分布 $\boldsymbol{\hat{y}}^{(i)}$ 。

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