算术方法
除去超越方法与代数-几何方法，研究代数曲线还有一个方法，叫算术方法，它至少在概念上是纯代数的。这个方法实际上是一批理论，它们在细节上大不相同，但在三类阿贝尔积分的被积函数的构造与分析上有共同之点。这个方法是在克罗内克讲义、魏尔斯特拉斯1875-1876年讲义以及戴德金和海因里希韦伯一篇合写的论文中发展的，亨泽尔(Kurt Hensel,1861-1941)与Georg Landsberg的教科书《单变量代数函数论》（1902）对算术方法做了完整叙述。
算术方法的中心思想来自克罗内克与戴德金关于代数数的研究工作，并利用代数数域中的整代数数与复函数中在黎曼曲面上的代数函数之间的类比。代数数理论是从整系数不可约多项式方程f(x)=0出发的。在代数几何上的类比是一个不可约多项式方程f(ζ,z)=0，其中ζ乘幂的系数都是z的多项式（比如说是实系数的）。在数论中可以考虑由f(x)=0的系数和它的一个根生成的域R(x)。在几何中则考虑所有R(ζ,z)形成的域，它们在黎曼曲面上是单值的代数函数。于是考虑数论中的整代数数。与此相应的代数函数G(ζ,z)是整函数，即只在z=∞处变为无穷大的代数函数。整代数数能分解成实的质因子与单位，这分别相应于G(ζ,z)能分解成只在黎曼曲面上一点处为零的因子和一些无处为零的因子。戴德金在数论中引进理想以讨论可除性，这在几何上的类比是：把R(ζ,z)的一个在黎曼曲面上一点处为零的因子，代之以R(ζ,z)的域中所有在该点为零的函数集合。戴德金与韦伯用这种算术方法来处理代数函数域，得到了经典性结果。
希尔伯特继续用戴德金和克罗内克的本质上是代数的或算术的方法进行代数几何的研究，他的一个主要定理：希尔伯特的零点定理（Nullstellensaiz），说：任意多个齐次变量x1,...,xn的空间内每个任意范围的代数结构（图形），恒能用有限个齐次方程F1=0,F2=0,…,Fμ=0来表示，使得包含原来那个结构的任意其它结构的方程，都可以表成，其中各个M都是任意齐次整式，要求方程本身的左边是齐次的。
希尔伯特依照戴德金称MiFi的集合为模（此名词是今日的理想，而模现在稍更一般些），可把希尔伯特的结果叙述为：Rn的每一个代数结构确定一个为零的有限模。
代数几何（七）
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
- 文/潘晓璐 我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
- 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着，像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上，一...
- 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
推荐阅读更多精彩内容
- 中图分类法为中国图书馆分类法的简称。 中图法分类查询 【基本部类为五大类部：马列毛邓；哲学与宗教；社会科学；自然科...
