拉莫尔进动

证明拉莫尔进动频率为 $\gamma B$

1 经典方法

磁场产生的力矩为
$\boldsymbol{M}=\boldsymbol{\mu }\times \boldsymbol{B}=\gamma \boldsymbol{J}\times \boldsymbol{B}$
$M=J\gamma B\sin \theta$
由牛顿第二定律的力矩形式
$\boldsymbol{M}=\frac{d\boldsymbol{J}}{dt}$
可得角动量的变化垂直于角动量，证明只是方向改变，大小不变。
$d\boldsymbol{J}=\boldsymbol{M}dt\bot \boldsymbol{J}$
拉莫尔进动频率为
$\varOmega =\frac{d\varTheta}{dt}$
由图像分析可知

进动示意图

$M=\frac{|d\boldsymbol{J}|}{dt}=\frac{J\sin \theta d\varTheta}{dt}=J\sin \theta \varOmega$
最终得到
$\varOmega =\frac{M}{J\sin \theta}=\gamma B$

2 量子方法（只考虑自旋进动）

（1）两态系统在Bloch球中的表示

任何两态系统都可以表示为
$|\psi \rangle =c_0|0\rangle +c_1|1\rangle =|c_0|e^{i\phi _1}|0\rangle +|c_1|e^{i\phi _2}|1\rangle =e^{i\gamma}\left( \cos \frac{\theta}{2}e^{-i\frac{\phi}{2}}|0\rangle +\sin \frac{\theta}{2}e^{i\frac{\phi}{2}}|1\rangle \right)$
其中，
$|c_0|=|\cos \frac{\theta}{2}|\text{，}|c_1|=|\sin \frac{\theta}{2}|\text{，}\varDelta \phi =\phi _2-\phi _1=\phi$
这种替换没有丢掉任何信息。
$\begin{aligned} \\ \rho &=|\psi \rangle \langle \psi |=\left( \begin{matrix} \cos ^2\frac{\theta}{2}& \sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}e^{-i\phi}\\ \sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}e^{i\phi}& \cos ^2\frac{\theta}{2}\\ \end{matrix} \right) \\ &=\frac{1}{2}\left( I+\sigma _x\sin \theta \cos \phi +\sigma _y\sin \theta \sin \phi +\sigma _z\cos \theta \right) \\ &=\frac{I+\boldsymbol{\sigma }\cdot \boldsymbol{n}}{2} \end{aligned}$
可以看出，系统的状态可以由Bloch球中的单位向量 $\boldsymbol{n}=\left( \sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta \right)$ 表示。由该单位向量在z轴的投影容易反推出处于哪种状态的概率。
ps：若推广到混合系综，总的密度算符为纯态密度算符的系综平均。
$\rho =\frac{I+\boldsymbol{\sigma }\cdot \boldsymbol{r}}{2}\text{，}\boldsymbol{r}\in \mathbb{R}^3\text{，}|\boldsymbol{r}|\leqslant 1$

（2）密度算符随时间的演化

系统哈密顿量为
$H=-\boldsymbol{\mu }\cdot \boldsymbol{B}=-\gamma \boldsymbol{J}\cdot \boldsymbol{B}=-\gamma J_zB$
由薛定谔方程
$i \hbar\frac{\partial |\psi \left( t \right) \rangle}{\partial t}=H|\psi \left( t \right) \rangle$
当哈密顿量不含时，可得态的时间演化为
$|\psi \left( t \right) \rangle =e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}|\psi \left( 0 \right) \rangle$
其中，时间演化算符为
$e^{-\frac{i}{ \hbar}Ht}=e^{\frac{i}{\hbar}J_z\gamma Bt}=e^{\frac{i}{\hbar}J_z\varOmega t}$
因此，密度算符为
$\begin{aligned} \rho \left( t \right) &=|\psi \left( t \right) \rangle \langle \psi \left( t \right) |=e^{\frac{i}{\hbar}J_z\varOmega t}\rho \left( 0 \right) e^{-\frac{i}{\hbar}J_z\varOmega t} \\ &=\frac{1+e^{\frac{i}{\hbar}J_z\varOmega t}\boldsymbol{\sigma }e^{-\frac{i}{\hbar}J_z\varOmega t}\cdot \boldsymbol{n}\left( 0 \right)}{2} \\ &=\frac{1+R_z\left( \varOmega t \right) \boldsymbol{\sigma }\cdot \boldsymbol{n}\left( 0 \right)}{2} \\ &=\frac{1+\boldsymbol{\sigma }\cdot \boldsymbol{n}\left( t \right)}{2} \end{aligned}$
其中， $\boldsymbol{n}\left( t \right) =R_z\left( \varOmega t \right) \boldsymbol{n}\left( 0 \right)$ ，在Bloch球中绕z轴旋转的矩阵为
$R_z\left( \varOmega t \right) =\left( \begin{matrix} \cos \varOmega t& -\sin \varOmega t& 0\\ \sin \varOmega t& \cos \varOmega t& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{matrix} \right)$
因此，从两态系统来看，磁场对自旋的作用同样是以拉莫尔频率 $\gamma B$ 绕着磁场方向进动。