矩阵的奇异值分解

奇异值分解(singular value decomposition, SVD)是将矩阵分解为奇异值和奇异向量的一种矩阵分解方式。

什么是正交、标准正交和正交矩阵

如果向量 $x$ 和 $y$ 满足 $x^Ty = 0$ , 那么向量 $x$ 和 $y$ 互相正交。显然，零向量和任意向量之间相互正交。若两个向量都有非零范数，那么这两个向量的夹角是 $90^\circ$ 。若相互正交的向量范数都为1，那么称它们是标准正交。正交矩阵的行向量和列向量分别标准正交。

矩阵的特征值和特征向量

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且存在实数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零向量 $x$ ，使得 $Ax = \lambda x$ , 那么 $\lambda$ 为方针 $A$ 的特征值，向量 $x$ 为 $A$ 的特征向量。
$Ax = \lambda x$ 可以写成 $(A - \lambda E)x = 0$ , 有非零解的充要条件是系数行列式 $|A - \lambda E| = 0$

定义

假设 $A$ 是一个 $m * n$ 的矩阵， $U$ 是一个 $m * m$ 的矩阵， $D$ 是一个 $m * n$ 的矩阵， $V$ 是一个 $n * n$ 的矩阵。那么, $A$ 可分解成 $A = UDV^T$ , 其中 $U$ 和 $V$ 都定义成正交矩阵， $D$ 定义为对角矩阵。对角矩阵 $D$ 对角线上的元素称为 $A$ 的奇异值。矩阵 $U$ 的列向量称为 $A$ 的左奇异向量，矩阵 $V$ 的列向量称为 $A$ 的右奇异向量。

$A$ 的左奇异向量是 $AA^T$ 的特征向量， $A$ 的右奇异向量是 $A^TA$ 的特征向量
$A$ 的非零奇异值是 $AA^T$ 特征值的平方根，同时也是 $A^TA$ 特征值的平方根

用途

最有用的性质是可以将求逆操作扩展到非方矩阵上。

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