1、什么是三门问题
详见百度百科:https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%89%E9%97%A8%E9%97%AE%E9%A2%98
- 现在有三扇门,只有一扇门有汽车,其余两扇门的都是山羊。
- 汽车事前是等可能地被放置于三扇门的其中一扇后面。
- 参赛者在三扇门中挑选一扇。他在挑选前并不知道任意一扇门后面是什麽。
- 主持人知道每扇门后面有什么。
- 如果参赛者挑了一扇有山羊的门,主持人必须挑另一扇有山羊的门。
- 如果参赛者挑了一扇有汽车的门,主持人等可能地在另外两扇有山羊的门中挑一扇门。
- 参赛者会被问是否保持他的原来选择,还是转而选择剩下的那一扇门。
转换选择可以增加参赛者拿到汽车的机会吗?
2、算法验证
Random r = new Random();
int doorsNum = 3;//设定门的数量
int changeVin = 0;//选择换门赢的次数
int holdVin = 0;//保持选择赢的次数
for (int n = 0; n < 1000000; n++) {
//初始化N门,其中随机一门有车
int[] doors = new int[doorsNum];
//随机选择一个们后放辆车
int carIndex = r.nextInt(doorsNum);
doors[carIndex] = 1;
System.out.print(" 有汽车的门:" + carIndex);
//嘉宾随机选择一个门
int choose = r.nextInt(doorsNum);
doors[choose] = doors[choose] | 2;
System.out.print("; 参赛者选择了门:" + choose);
if (doors[choose] == 3) {
holdVin++; //不换门选中计数
System.out.println("; 不换门赢:"+choose);
continue;
}
//随机开一个门,如果随机到已选择或有奖品的门,则环形取下一个
int openIndex = r.nextInt(doorsNum);
do {
if (doors[openIndex] == 0) {
System.out.print("; 主持人打开了门:" + openIndex);
doors[openIndex] = -1;
break;
}
openIndex++;
if (openIndex == doorsNum) {
openIndex = 0;
}
} while (true);
//随机选一个门
int rechoose = r.nextInt(doorsNum);
while(true) {
if (rechoose == choose || rechoose == openIndex) {
rechoose++;
if(rechoose == doorsNum){
rechoose=0;
}
}else{
break;
}
}
if(doors[rechoose] >= 1) {
System.out.println("; 换门赢:" + rechoose);
changeVin++; //换门的概率计数
}else{
System.out.println("; 换门输:" + rechoose);
}
}
System.out.println("不换VS换:" + holdVin + " : " + changeVin);
输出结果:
... //此处省略一万字
有奖品的门:1; 嘉宾选择了门:1; 不换门赢:1
有奖品的门:0; 嘉宾选择了门:1; 主持人打开了门:2; 换门赢:0
有奖品的门:1; 嘉宾选择了门:0; 主持人打开了门:2; 换门赢:1
有奖品的门:1; 嘉宾选择了门:1; 不换门赢:1
有奖品的门:1; 嘉宾选择了门:2; 主持人打开了门:0; 换门赢:1
不换VS换 332841 : 667159
3、结论
选择换门,则赢的概率≈2/3
选择不换,则赢的概率≈1/3
PS:算法实现中门的数量doorsNum可以修改,实现N门问题,通过计算,门越多换门赢的概率就越低。
4、解法
有了结果,接下来谈谈为什么是这样?
1.参赛者有2次选择机会:a.三门选其一,b.换与不换;
2.计算不换时赢的概率:第二个选择已经确定=不换,那决定概率就在第一次选择,选择3门有车的门则赢,3门有1门有车,得出概率是 1/3 ;
3.计算 换 时赢的概率:第二个选择也已经确定=换,那决定概率依然是第一个选择,选择3门中无车的门则赢,3门中2门无车,得出概率 2/3。