3D数学-正交投影

好记性不如烂笔头啊，还是记录一下!

概述

正交投影也被称为平行投影，不会出现透视投影的近大远小的扭曲现象，

正交投影的推导

构建正交投影矩阵相对来说会简单一些，由于不存在透视扭曲。

$<x_{e}, y_{e}, z_{e}>$ 是相机空间中的一个坐标点

$<x_{n}, y_{n}, z_{n}>$ 表示经过透视投影后在规范化设备坐标系（Normalized Device Coordinates）中的坐标

$l$ 表示近裁剪平面（near clip plane）的左边，即 $x=l$

$r$ 表示近裁剪平面（near clip plane）的右边，即 $x=r$

$t$ 表示近裁剪平面（near clip plane）的上边，即 $y=t$

$b$ 表示近裁剪平面（near clip plane）的下边，即 $y=b$

3D数学-正交投影_1.png

如图所示， $<x_{e}, y_{e}, z_{e}>$ 可以先行的映射到规范化设备坐标系（Normalized Device Coordinates）中的，因为我们实际只是将一个长方体缩成一个立方体，并把它移动到原点。下面我们就来使用线性映射关系（linear relationship）来推导正交投影矩阵

现在需要将 $x_{e}$ 映射到 $x_{n}$ ， $x_{e}$ 得范围是 $[l, r]$ ， $x_{n}$ 的范围是 $[-1, 1]$ ，还需要将 $y_{e}$ 映射到 $y_{n}$ ， $y_{e}$ 得范围是 $[b, t]$ ， $y_{n}$ 的范围是 $[-1, 1]$ ，还需要将 $z_{e}$ 映射到 $z_{n}$ ，由于齐次裁剪空间为左手坐标系，所以需要将z轴反置，因此 $z_{e}$ 的范围是 $[-n, -f]$ ， $y_{n}$ 得范围是 $[-1, 1]$ 可以利用简单线性插值的方法获得以下关系式：

$\begin{cases} \frac{x_{e}-l}{r-l}=\frac{x_{n}-(-1)}{1-(-1)} \\[2ex] \frac{y_{e}-b}{t-b}=\frac{y_{n}-(-1)}{1-(-1)} \\[2ex] \frac{z_{e}-(-n)}{(-f)-(-n)}=\frac{z_{n}-(-1)}{1-(-1)} \end{cases}$

解出可得：

$\begin{cases} x_{n}=\frac{2}{r-l} \centerdot x_{e}-\frac{r+l}{r-l} \\[2ex] y_{n}=\frac{2}{t-b} \centerdot y_{e}-\frac{t+b}{t-b} \\[2ex] z_{n}=\frac{-2}{f-n} \centerdot z_{e}-\frac{f+n}{f-n} \end{cases}$

将以上三个关系式写成矩阵形式，可得：

$P_{n} = M_{ortho} \cdot P_{e} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & \frac{r+l}{r-l} \\[2ex] 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & \frac{t+b}{t-b} \\[2ex] 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{e} \\[2ex] y_{e} \\[2ex] z_{e} \\[2ex] 1 \end{bmatrix}$

$M_{ortho}$ 就是正交投影矩阵

投影矩阵的另一种形式

3D数学-正交投影_2.png

根据Size（竖直方向上高度的一半）和Aspect（投影平面的宽高比）可得出以下关系：

$Aspect = \frac{r}{t} \\[2ex] t = Size \\[2ex] b = -t \\[2ex] r = t \times Aspect \\[2ex] l = -r$

所以 $M_{ortho}$ 还可以写成：

$M_{ortho}= \begin{bmatrix} \frac{1}{Aspect \centerdot Size} & 0 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \frac{1}{Size} & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

本节教程就到此结束,希望大家继续阅读我之后的教程。

谢谢大家,再见!

饮水思源

参考文献：

《3D游戏与图形学中的数学方法》

《OpenGL投影矩阵(Projection Matrix)构造方法》