如果可以用一种简单的方式来理解世界，我想这种方式就是“数学”！
“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”。
看起来像是魔法，理解之后就是数学，那啥叫数学呢？数学就是数字的系统化科学，本篇先从数字入个门吧。
1. 数字是什么？
2. 计数系统
3. 数字美学
一、数字是什么？
1. 直觉在前，数字在后
要知道数字是什么？起源于什么？先来两个例子“一望冰山”吧：
1> 对早期依赖户外生存能力的原始部落来说，当不同部落之间发生冲突，大家互相挥舞着长矛，需要立刻决定的问题是：打？还是跑？需要领导者快速判断双方人数差异，对方人少就打，对方人多咱就跑。
2> 路边看到两棵果树，去采摘哪一棵果树呢？就需要立刻判断出哪棵树上的果实更多。
这两个例子都是没有必要一一数出每一个人数、每一颗果子，最关键的是快速估计出相对数量，而这种估计就是人类对于数量的直觉，即对比关系。
在现代数据分析方法ABtest中，最关键的就是对事物提出对比假设，再进行数字化验证，假设很大程度依赖直觉，而数字是对直觉的确认，那么直觉与数字的关系是什么样的呢？接着往下看。
2. 实验：数学教育对直觉的影响
2004年卡内基-梅隆大学的罗伯特·西格勒（Robert Siegler）和朱莉·布思(Julie Booth）对幼儿园学生（平均年龄为5.8岁）、一年级学生（6.9岁）和二年级的学生(7.8岁）做了数轴实验：一条线，左右两边随机展示一些点，中间有光标，学生来指出这组点应该在什么位置，通过重复点击来测试不同程度的数学教育会如何分配从1-100之间的数字。
结果显示（如图），随着我们对数字越来越熟悉，我们的直觉也逐渐被固化。
1> 对于没有受过正规的数学教育的幼儿园学生，他们会按曲线绘制出数字；
2> 小学一年级的学生们因为开始学习数字和符号，所以他们的曲线变直了一些；
3> 小学二年级的学生绘制出的数字终于沿着直线均匀分布了。
ps：这组数据没有找到源数据，就从材料中拍图截取吧，不要吐槽博主哈哈哈~
理论上实际值与估计值绘制出来应该是一条从0开始的45°斜直线，而实际结果是数字越大线条越平缓，斜率越小，也就是大数字间的距离比小数字间的距离在感觉上更近，如：80和100之间的距离20，比20和40之间的距离20，在感知上要小一些。
这个实验说明：我们的直觉很多时候是与现实是不匹配的，可能会有感觉误差，因此需要科学的方法来做决定，也就是现在企业追求的数据决策，做出更为靠谱可信赖的判断。
3. 印度数学的发展
历史上有过非常多的计数方式，革命性的计数系统是由印度人发明的阿拉伯数字系统，使用10个数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，接下来我们要聊的是基于阿拉伯数字系统的吠陀数学速算技巧。
20世纪初，印度哲人巴拉蒂·克里希纳·第勒塔季在由梵文著成的古代《吠陀经》中发现了这套技巧，速算技巧基于16句格言，并不来自《吠陀经》中记录的某一段文字，而只能根据“直觉启示”感知到，并将感知到的方法统称为“吠陀数学”，这相当于有人在金刚经中找到了解一元二次方程的解法，太太太哇塞了！
吠陀算法的主要特点是可以将复杂的问题分解为简单的步骤，并使用特定的规则和技巧进行计算。
其中最著名的技巧是“补数法”，如：计算1000-456，前面所有数字从9开始减，最后一个数字从10减，拆分为9-4=5,9-5=4,10-6=4，结果是544。
16句格言讲述了特定的规则：
1/2/3：比以前的1多了1、比以前的1少了1、全部从9开始&最后从10开始；
4/5/6/7/8：垂直和交叉、转置和应用、通过加和减、和的乘积、所有乘数；
9：如果《集论》是相同的，它是零；
10：如果一个是成比例的，另一个是零；
11/12/13/14：完成或末完成、通过亏空、具体和普遍、微分学；
15/16：最后一位的余数、最后一个和两次倒数第二。
是不是有点迷糊啦？别着急，举个简单的例子理解一下（如图）：用吠陀算法、长乘法两种算法计算888*997=？
1> 吠陀算法：先做减法、再做对角线加法、然后右侧数字乘法，最后拼起来；
2> 长乘法：逐个位置数字相乘，再累加。（小学数学学的就是长乘法）
那么再复杂一些的数字如何计算呢？感兴趣的朋友可以自己研究哦~
二、计数系统
1. 啥是计数系统？
假设没有数字，失眠的时候，怎么数羊嘞？？？
Action：羊、羊羊、羊羊羊、羊羊羊羊、羊羊羊羊羊、羊羊羊羊羊羊...（已经听到你在念啦！）
是不是很着急，可能直接放弃羊羊了，有数字之后，就可以1只羊、2只羊、慢悠悠数过来，有没有感受到计数系统的强大？！
在人类历史发展过程中，生活在不同地区的人发明了不同的计数系统和方法，如：以α/β/γ...等27个字母为基础的希腊计数法、以I/X/C/M/V/L/D为基础的罗马计数法，以及用手指关节计数的方法。
一个好的计数系统要满足哪些条件呢？
1> 基数必须足够大，但也不能太大，这样在表达100这样的数字时，才不会喘不过气，也不需要记忆太多的东西；
2> 符合人的行为习惯，历史上常见的基数是：5、10、20，很大程度的原因是这些数字来自人体，5个手指、10个手指、再加上10个脚趾。
印度人发明的阿拉伯数字系统恰好、或者说完美地满足了所有要求，使用10个数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，且基数为10。
2. 常见的进制有哪些？
二进制（Decimal system）
用数字0、1表示，基数为2，满2进1位，最常见的是二进制使用场景是计算机控制系统。
为什么二进制适用于计算机控制系统呢？
最主要原因是二进制数只有0和1两种状态，与计算机内部的逻辑电路的开关状态非常相似，运算规则要比其他进制的数简单得多，这有利于提高计算机的运算速度，每个数字称为一个比特，相比之下，其他进制的数表示方式需要更为复杂的电路和算法才能实现。
十进制（Decimal system）
用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9表示，基数为10，满10进1位，是人们日常生活中最常使用的一种进制。
为什么十进制适用于人类呢？
可能是因为人类的大脑在进行计数时，习惯于将数量转化为手指的数量或者位置，而我们的手指有10个，这使得我们的大脑更容易接受十进制的计数方式。
十二进制（Duodecimal system）
通常用数字0~9以及字母A、B来表示，其中，A代表10，B代表11，以12为基数，满12进1位，常见的十二进制使用场景如：一打（12）、一罗（144=12^2）。
十二进制的整除属性比十进制要好一些，如：12可以被2、3、4、6整除，而10只能被2、5整除，在日常生活中，更有可能把一个数除以3或者4，而不是除以5。
下图是十二进制的乘法表，帮助理解十二进制的具体数字展示。
（十进制转十二进制数值的方法：十进制数除以12得到倍数的整数部分用十二进制表示，拼接余数部分的十二进制表示。）
六十进制（Sexagesimal system）
使用0-59来表示，以60为基数，满60进一位，常见使用场景如：秒、分钟，以及中国的六十甲子。
据记载1793年法国试图将时间转变为十进制，也就是每天有10小时、每小时有100分钟、每分钟有100秒，一天变成了100000秒，而不是原来的86400（24*60*60）秒，时间十进制的秒比原来的秒会短一些，导致时间感知晕头转向，短短6个月改革就被放弃了，十进制在时间上的失败是十二进制、六十进制取得的小小胜利~
三、数字美学
1. 数学中最迷人的曲线之一“对数螺线”
先了解一下啥是黄金比例，即一条线段被切分成两段，原线段与较长部分的的比例=较长部分与较短部分的比例，这个比例约为1.618，也就是黄金比例，堪称自然界最美的结构比例。
对数螺线就是基于黄金矩形绘制出的一条曲线：
1> 把一个长宽比例为1.618的黄金矩形，切分出一个正方形，剩余部分仍然是一个黄金矩形；
2> 以正方形的一个角为圆心，画1/4圆；
3> 重复切分出正方形+画圆弧线，就得到一条对数螺线（如下图所示）。
对数螺线的基本性质是：不会随着图形的发展而改变，即螺线本身具有相似性，任何一个较小部份与较大部份相似。
它最有魅力的一点是：永恒！
2. 随机模拟为什么赌博会输？
对于这个问题，接下来会用随机数模拟赌博结果，来说明为什么赌博会输，在模拟数据之前，先说明三个基本点：
1> 对经济利益的渴望，更具体点就是“博彩业”，让人们开始研究获胜的可能性，概率就是可能性的数字化表达，将不可预测性变得可预测；
2> 赌博的前提是随机事件，即随机事件与你的想法无关；
3> 赌徒破产原则，指一个赌徒在赌博中，无论他赢得多少，只要他继续赌博，最终他就会破产。
用R语言模拟抛硬币实验：
假设有6个人，分别抛100次硬币，正面朝上记为1，反面朝上记为-1，将每次结果累加，绘制6个人抛硬币结果的随机游走曲线，如下图所示。
从这个图可以发现随着抛出次数的增多，曲线波动越来越大，假设抛硬币游戏变成了赌博，唯一让它停止赌博的方式就是钱=0；
同时这个现象说明赌博对富人有利，因为富人不仅需要更长的时间才会破产，而且还有更多的机会让随机游走向上延伸。
附：随机游走曲线的Rcode
library(reshape2)
library(ggplot2)
# 定义N个人参与赌博、n次赌博
N<-6
n<-100
data_sample<-as.data.frame(matrix(0,n,N)) # 创建矩阵
data_sample$label_x<-1:nrow(data_sample) # 生成抛硬币的次数列
for (j in 1:N) {
data_sample[,j]<-as.data.frame(sample(c(-1,1), # 随机生成的值序列，1代表正面、-1代表反面
n,
replace = TRUE,
prob = c(0.5,0.5))) # 概率
}
# 将每次抛硬币结果逐个值累加
for (j in 1:N) {
for (i in 1:n) {
if (i==1){
data_sample[i,j+N+1]<- data_sample[i,j]
} else {
data_sample[i,j+N+1]<-data_sample[i,j]+data_sample[i-1,j+N+1]
}
}
}
data_sample<-subset(data_sample,select = c((N+1):(N*2+1)))
data_sample<-melt(data_sample,id.vars = c('label_x'),variable.name = 'v1') # 绘制曲线
ggplot(data_sample,aes(x=label_x,y=value,group=v1,color=v1))+
geom_line()+
labs(title="抛硬币随机游走曲线")+theme(legend.position="none") # 隐藏图例
文末：博主超级喜欢对数螺线，因为它“任尔变换，不忘初心”。
