2018-10-09

  • Product of two epsilons
    \epsilon_{ijk} \epsilon_{lmn} = \left | \begin{array}{cccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{array} \right |

  • Contractions of epsilons
    \epsilon_{ijk} \epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} -\delta_{jn}\delta_{km}
    \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}
    \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijk} = 2 \times 3 = 6

  • gradient of a vector field
    \vec{\nabla}\phi = \hat{e_i}\frac{\partial}{\partial x_i}\phi

{\rm d}\phi = \vec{\nabla}\phi \cdot {\rm d}\vec{r}

  • directional derivative
    \hat{t} \cdot \vec{\nabla}\phi

  • unit surface normal for \phi = constant
    \hat{n} = \frac{\vec{\nabla}\phi}{|\vec{\nabla}\phi|}

  • the unit tangent to the curve given that s is the arc length
    \hat{t} = \frac{{\rm d}\vec{r(s)}}{{\rm d}s}

  • Divergence
    \vec{\nabla}\cdot\vec{F}

  • Curl
    \vec{\nabla}\times\vec{F}

  • NB: \hat{e} is only constant in Cartesian coordinates when calculating using vector differential operators

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