前提：数据正态性是诸如回归分析、方差分析等进行前需要进行的判断。

1. 所有方法：

• 首先最常用的方法是图示法，包括正态图和P-P/Q-Q图。正态图看一下是不是“钟形”分布曲线；P-P是查看实际数据累积比例与对应正态分布累积比例的散点图；Q-Q是查看实际数据与对应正态分布分位数的符合程度。

• 其次是正态性检验方法，利用观测数据判断总体是否服从正态分布的检验称为正态性检验，它是统计判决中重要的一种特殊的拟合优度假设检验。

• 最后是描述法（偏度-峰度检验法），即通过描述数据偏度和峰度系数来检验数据的正态性。参考正态分布的偏度为0，峰度为3（实际应用中通常将峰度值减去3，根据具体的软件需要注意）。一般现实数据是不可能达到这个要求的，所以如果峰度绝对值小于10并且偏度绝对值小于3，即可判定数据基本为正态分布。

几种方法对比。从上面介绍可以看出，正态性检验最为苛刻，而实际中可能存在样本不足的情况，此时如果数据的图示法基本符合正态分布也是可行的。同时，采用偏度峰度的判别方法也简单可行，但容易受到异常值的影响。

一般而言，如果原始数据不满足正态分布（比如偏态分布），通过取对数、开根号这种数据变换方法可使数据更接近正态性。

2. 正态性检验方法：

检验方法

• Shapiro-Wilktest（夏皮罗维尔克检验法，W检验）：Shapiro-Wilk检验需要首先对数据进行排序，统计量可以看做是排序值与最佳无偏线性估计值之间的平方，值越高，代表样本与正态分布更匹配。W统计量计算公式参见Shapiro-Wilk。
• Kolmogorov-Smirnov（科尔莫戈罗夫检验法，K-S检验）：Kolmogorov-Smirnov检验是基于累计分布函数的，单样本K-S检验可用于检测一个数据的观测值是否符合特定的理论分布（比如正态分布等）；两样本的K-S检验可用于比较两个观测样本的经验函数是否存在显著差异。K-S检验是一种稳健的非参数化方法，不依赖于均值位置、适用范围广。K-S统计量的计算公式参见Kolmogorov-Smirnov。

检验思路【重点】

• 检验问题：W检验与K-S检验的原假设H0为：总体服从正态分布。
• 判断思路：因为原始假设为数据符合正态分布，所以如果得到的显著性值很小（小于设定的0.01,0.005,0.001等），那么原假设被推翻，说明数据不符合正态分布；反之，如果统计变量的显著性值大于设定的显著性水平，那么原假设成立，数据符合正态分布（简单来说，p>0.05是我们的目标，如果满足，即可说明数据满足正态性分布）。

方法对比

• 原理不同：上述可知两个方法的基本原理不一致。
• 样本量大小：在选择时，经常依据样本量的大小进行选择。对于W检验，适用于小样本，作者推荐样本量小于20的时候使用（参考Shapiro-Wilk），SPSS统计软件以及搜索资料发现，在样本量小于50时，推荐使用W检验；在样本量位于50-5000的情况下，可以同时考虑W检验和K-S检验；在样本量大于5000时，一般只使用K-S检验（SPSS在样本量大于5000时只显示K-S统计量）。

3. SPSS、R和Python语言代码实战

SPSS

• 采用SPSS进行分析的方法，直接一搜索能出来好多，很简单（可参见spss如何进行正态性检验）。

R语言

• 对于R语言，参见多组多个变量的正态性检验，可知基本函数如下。

# W 检验
shapiro.test(mydata$age)

# K-S检验采用nortest包中的lillie.test()函数来实现
library(ggplot2)
head(diamonds)
install.packages("nortest")
library(nortest)

lillie.test(diamonds$price)

Python语言

下面展示下用Python中的scipy包进行检验。

• W检验
  函数形式：scipy.stats.shapiro(x)
  官方链接：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.shapiro.html
  主要参数：x为输入的样本数据。不管样本量如何，当原假设成立时，拒绝原假设的概率接近5%。

from scipy import stats
rng = np.random.default_rng()
x = stats.norm.rvs(loc=5, scale=3, size=100, random_state=rng)

shapiro_test = stats.shapiro(x)

shapiro_test
ShapiroResult(statistic=0.9813305735588074, pvalue=0.16855233907699585)

shapiro_test.statistic
0.9813305735588074

shapiro_test.pvalue
0.16855233907699585

• K-S检验
  函数形式：scipy.stats.kstest(rvs, cdf, args=(), N=20, alternative='two-sided', mode='auto')
  官方链接：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.kstest.html
  主要参数：rvs为待检验的数组或列表；cdf为检验方法，如果是单样本检验，数值为'norm', 'expon', 'rayleigh', 'gamma'等，设置为'norm’即为正态性检验；默认是双边检验；N设置输入的rvs为变量生成函数时指定数组的长度；其他变量不解释了。

from scipy import stats
x = np.linspace(-15, 15, 9)
stats.kstest(x, 'norm')
# 输出：KstestResult(statistic=0.444356027159..., pvalue=0.038850140086...)

• 偏度-峰度检验
  函数形式：scipy.stats.normaltest(a, axis=0, nan_policy='propagate')
  官方链接：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.normaltest.html
  主要参数：a，为包含待测试样本的数组；axis，计算测试所沿着的轴，默认值为0，如果为None，则计算整个数组a；nan_policy定义当输入包含nan时如何处理。

from scipy import stats
rng = np.random.default_rng()
pts = 1000
a = rng.normal(0, 1, size=pts)
b = rng.normal(2, 1, size=pts)
x = np.concatenate((a, b))

k2, p = stats.normaltest(x)

4 完结

从应用角度来看很简单，在Python下，就是stats.normaltest(x)、stats.kstest(x, 'norm')以及stats.shapiro(x)三个的调用，后两者在样本量为50和5000时进行区分调用。

其他参考资料：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/70755099
https://www.statsref.com/HTML/index.html
https://www.51xxziyuan.com/58/1287.html