有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘。
目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。
操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。
1、物理世界中的解答
2、抽象为数学的问题
对于复杂的问题，我们需要简化的去想，比如上面物理模型，我们是先从2个盘开始的思考的，如果一开始就从64个盘开始思考，太过复杂，我们可能在思考的过程中出错。
就是说 n 个盘的问题，我们就需要把它想成 n-1 个盘的问题，最终将其想成 2 个盘，1 个盘的问题。
所以这个移动的问题，可以归纳为：
(1)以C盘为中介，从A杆将1至n-1号盘移至B杆；
(2)将A杆中剩下的第n号盘移至C杆；
(3)以A杆为中介；从B杆将1至n-1号盘移至C杆。
这样问题就解决了，但是实际操作中，第一步和第三步 会成为新的移动问题，但是我们观察，会发现第一步和第三步 的移动问题，是最开始移动问题的简化版本 （从移动 n 个盘 到移动 n-1 个盘子），但是解决方式是一样的。同样的 n-1 个盘子的问题同样可以简化 为 移动 n-2 个盘子的问题，这样一直简化下去，最后就是移动 2 个盘，1 个盘的问题，而移动 1 个 盘的问题是可以解决的，这样反推回去，就可以解决 移动 n 个盘子的问题。
就是说，我们知道怎么移动 1 个盘子，就可以知道怎么移动 2 个盘子的问题，然后 3个、4个 .... 直到 n 个
这种由繁化简，用简单的问题和已知的操作运算来解决复杂问题的方法，就是递归法
我们利用数学函数来解决这个问题，比如我们用 H(n) 来表示移动 n 个圆盘需要的步数，则：
H(1)=1;
H(n)=2*H(n-1)+1;（n>1）
第二个等式，是从上面的归纳来的，(1)和(3) 需要移动 H(n-1) 步，即新的移动问题，(2) 需要移动 1 步
来推导一下
H(n) = 2*(2*H(n-2)+1)+1
H(n) = 2²*H(n-2) + 2 + 1
...
H(n) = 2^(n-1)*H(n-(n-1)) + 2^(n-2) + ... + 2^1 + 1
H(n) = 2^(n-1)*H(1) + 2^(n-2) + ... + 2^1 + 1
H(n) = 2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2^1 + 1
两边同时乘以2
2*H(n) = 2^(n) +2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2^2 + 2^1
2*H(n) - H(n) = 2^(n) - 1
H(n) = 2^(n) - 1 ;(n>0)
3、编码模拟移动过程
num，表示需要移动的盘子个数；使用递归调用来模拟移动；递归到 n = 1 时停止
private List<String> arrayⅠ;
private List<String> arrayⅡ;
private List<String> arrayⅢ;
//移动的步数
private double moveAmount = 0;
private void startHanoi(int num) {
moveAmount = 0;
arrayⅠ = new ArrayList<>();
arrayⅡ = new ArrayList<>();
arrayⅢ = new ArrayList<>();
for (int i = 1; i <= num; i++) {
arrayⅠ.add(i + "");
}
Log.i("move", "arrayⅠ-" + toStringByArray(arrayⅠ));
hanoi(num, 'Ⅰ', 'Ⅱ', 'Ⅲ');
}
/**
* @param n 盘子的数目
* @param origin 源座
* @param assist 辅助座
* @param destination 目的座
*/
private void hanoi(int n, char origin, char assist, char destination) {
if (n == 1) {
move(origin, destination);
} else {
hanoi(n - 1, origin, destination, assist);
move(origin, destination);
hanoi(n - 1, assist, origin, destination);
}
}
private void move(char origin, char destination) {
moveAmount++;
Log.i("move", origin + "--->" + destination);
//移动的盘子编号
String moveNum = null;
switch (origin) {
case 'Ⅰ':
moveNum = arrayⅠ.get(0);
arrayⅠ.remove(0);
break;
case 'Ⅱ':
moveNum = arrayⅡ.get(0);
arrayⅡ.remove(0);
break;
case 'Ⅲ':
moveNum = arrayⅢ.get(0);
arrayⅢ.remove(0);
break;
default:
break;
}
switch (destination) {
case 'Ⅰ':
arrayⅠ.add(0, moveNum);
break;
case 'Ⅱ':
arrayⅡ.add(0, moveNum);
break;
case 'Ⅲ':
arrayⅢ.add(0, moveNum);
break;
default:
break;
}
Log.i("move", "arrayⅠ-" + toStringByArray(arrayⅠ));
Log.i("move", "arrayⅡ-" + toStringByArray(arrayⅡ));
Log.i("move", "arrayⅢ-" + toStringByArray(arrayⅢ));
Log.i("move", "移动" + moveAmount + "步");
Log.i("move", "---------------------");
}
private String toStringByArray(@NonNull List<String> array) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (String s : array) {
sb.append(s);
}
return sb.toString();
}
- 盘数为3时的移动过程
开始：柱Ⅰ上是123，三个盘，数字越大表示盘越大，左到右相当于上到下
