球形高斯近似
之前提到，这篇文章 介绍了通过 球形高斯近似 来优化 pow 的计算，代码如下：
优化前：
// Generalized Power Function
float pow(float x, float n)
{
return exp(log(x) * n);
}
优化后：
// Spherical Gaussian Power Function
float pow(float x, float n)
{
n = n * 1.4427f + 1.4427f; // 1.4427f --> 1/ln(2)
return exp2(x * n - n);
}
推导
关于上面代码的推导，可以参考 这篇文章，这里再列一下主要推导过程：
pow 的 球形高斯近似:
pow(nh, K) = exp(-K*(1-nh))
其中 exp 可以用 exp2 这样表示：
exp(a) = exp2(a/ln(2))
带入后得到：
pow(nh, K) = exp2(-(K/ln(2))(1-nh))
这里的 1 / ln(2) 是一个常量，约等于 1.4427f，我们可以提前计算好，再带入上面的公式：
pow(nh, K) = exp2(-(K*1.4427f)(1-nh)) = exp2(nh*K*1.4427f-K*1.4427f)
把 K*1.4427 提出来后可以得到：
float A = K * 1.4427
pow(nh, K) = exp2(A * nh - A)
用代码表示如下：
// Spherical Gaussian Power Function
float pow(float x, float n)
{
n = n * 1.4427f;
return exp2(x * n - n);
}
这个结果和文章最开头的优化代码还是有区别的，主要原因是 pow(nh, K) = exp(-K(1-nh))* 这个近似对于 比较小的K 来说近似结果相差较大，作者做了一些对比，如下图：
针对这个问题，作者也介绍了一个更好的近似方式，即给原先的公式添加一个常数，如下：
pow(nh, K) = exp((K+X)(nh-1))
可以看到，这里的 X 为 0 的时候就是之前的近似公式，作者建议 X 在 [0,1] 这个区间取值。
当 X 为 1 时，就是我们上面的优化代码：
// Spherical Gaussian Power Function
float pow(float x, float n)
{
n = n * 1.4427f + 1.4427f; // 1.4427f --> 1/ln(2)
return exp2(x * n - n);
}
下图是添加常数后 pow(cos(x), 2) 的近似效果对比，红色曲线是近似曲线，可以看到，近似效果还不错：
游戏里的效果
优化前：
优化后：
地表的高光几乎看不出什么差别。
其他
作者的总结：
This post provided an application of a SG approximation, where the goal was to save a few ALU instructions. Again, for modern GPUs, this is not necessarily beneficial, but for older mainstream hardware, such as the PS3 and XBOX360 GPUs, it is a quite useful tool to have in your pocket.
意思是对于现代 GPU，这样做可能意义不大，不过对于老一点的硬件，这个优化值得拥有。
个人主页
本文的个人主页链接：https://baddogzz.github.io/2020/03/04/SGA-Pow-Opt/。
好了，拜拜！
