动态规划之矩阵连乘问题

问题描述

给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。
例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。
所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。

问题实例

例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：
A1：30x35; A2：35x15; A3：15x5; A4：5x10; A5：10x20; A6：20x25

递推式

设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。
当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
当i<j时，若A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i<=k<j,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。
综上，有递推关系如下

image.png

构造最优解

若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。

使用动态规划解决矩阵连乘问题

public class MatrixChain {
    public static void matrixChain(int[] p,int n,int[][] m,int[][] s ){
        for(int i=0;i<n;i++)
            m[i][i]=0;
        for(int r=2;r<=n;r++){//r为当前计算的链长（子问题规模）
            for(int i=1;i<=n-r+1;i++){//n-r+1为最后一个r链的前边界
                int j = i+r-1;//计算前边界为r,链长为r的链的后边界
                m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//将链ij化分为A(i)*(A[i+1:j])
                s[i][j]=i;
                for(int k=i+1;k<j;k++){
                               //将链ij划分为（A[i:k]*A[k+1:j]）
                    int t = m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                    if(t<m[i][j]){m[i][j]=t;s[i][j]=k;}
                }
            }
        }
    }
    public static void traceBack(int i,int j, int[][]s){
        if(i==j) return;
        traceBack(i,s[i][j],s);
        traceBack(s[i][j]+1,j,s);
        System.out.println("Multiply A"+i+","+"and A"+s[i][j]+","+j);
    }
    public static void main(String[] args){
        int[] p={30,35,15,5,10,20,25};
        int[][] m = new int[7][7];
        int[][] s = new int[7][7];
        matrixChain(p,6,m,s);
        System.out.println(m[1][6]);
        traceBack(1,6,s);
    }
}

上述迭代算法的运行过程如下图所示：

image.png