量子力学（三）自旋

一、实验现象：

图1 Stern-Gerlach实验装置

（原子的磁矩与自旋成正比：

\mu\propto S

）

发现自旋的量子化效应的实验是Stern-Gerlach实验，装置如上图所示。银原子蒸气通过z方向分布不均匀的磁场时，受到z方向的力： $F_z=\frac{\partial }{\partial z}(\mu\cdot B)\approx \mu_z\frac{\partial B_z}{\partial z}$ ，因此将观测到银原子在z方向有一定分布。但实际观测到的结果是，银原子等同分布于上下两点。这说明 $\mu_z$ 或者说 $S_z$ 是量子化的。 $S_z$ 观测到的测量值记为 $\pm \hbar/2$ 。

由于z方向不具有特异性，因此对 $S_x,S_y$ 的观测也将有上述结果。

之后，我们在一个Stern-Gerlach仪器后让粒子数再经过第二个SG仪器，得到了下图结果：

图2 多个SG仪器组合后的实验结果图

二、构建自旋算子：

由于 $S_z$ 的测量值，即本征值只有两个。若再假设非简并，则只有两个本征态。将两个本征态记为 $|+\rangle,|-\rangle$ ，因此 $S_z=\sum_\alpha\sum_\beta |\alpha\rangle\langle \alpha|S_z|\beta\rangle\langle \beta|=\frac{\hbar}{2}|+\rangle\langle+|-\frac{\hbar}{2}|-\rangle\langle-|$

将上述物理量表示在2x2的矩阵空间中，可表示为：

image

由于 $|+\rangle$ 和 $|-\rangle$ 被 $S_x$ 观测后，态发生改变，因此这两个态属于 $D(S_x)$ 。又由于 $S_x$ 的本征值个数是2，因此 $dimD(S_x)=2$ 。因此， $S_x$ 和 $S_z$ 作用在相同的矢量空间（好像教材一般不会点明这个）。下面，推导 $S_x,S_y$ 在该空间的矩阵表示。

将 $S_x$ 的本征态记为 $|S_x,+\rangle,|S_x,-\rangle$

由图2(c)知 $S_z|S_x,+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle+\frac{e^{i\delta}}{\sqrt{2}}|-\rangle$

于是得到 $|S_x,+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle+\frac{e^{i\delta}}{\sqrt{2}}|-\rangle$

再由正交关系得到 $|S_x,-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle-\frac{e^{i\delta}}{\sqrt{2}}|-\rangle$

类似的，得到 $|S_y,+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle+\frac{e^{i\delta'}}{\sqrt{2}}|-\rangle,|S_y,-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle-\frac{e^{i\delta'}}{\sqrt{2}}|-\rangle$

再由xyz的平等关系知 $|\langle \pm|S_x,+\rangle|=|\langle S_y,\pm|S_x,+\rangle|=1/\sqrt{2}$ , 解得 $\delta-\delta'=\pm \pi/2$

不妨令 $\delta=0,\delta'=\pi/2$ ，于是得到

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三、角动量理论
（待续

量子力学（三）自旋

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