前几天看完了《主动投资组合管理》，今天来总结这本书的读书笔记，同时也写下自己的些许感想。本书由量化投资领域的先驱Grinold和Kahn合著，是美国量化基金经理的圣经。翻译工作由刘震先生和他的团队在两年时间内细致地完成，本书的可读性非常高，内容十分贴切，而其中的CAPM模型、多因子模型和APT模型部分尤为出彩，本系列的文章也将依据这三个模型来写作。
本文主要在于CAPM模型与多因子模型的推导和应用。从CAPM模型的一般假设推导出多因子模型的系统，这一过程主要依赖于对于Beta值特性的讨论。
CAPM模型是现代量化投资系统的基础，在各大基金与投资银行得到了广泛的使用，其最大的优点在于简单、明确。它把任何一种风险证券的价格都划分为三个因素：无风险收益率、风险的价格和风险的计算单位，并把这三个因素有机结合在一起。因而大大减少了模型的复杂程度，而且提高了模型的实用价值。CAPM的另一优点在于实用性。其模型假设为绝对风险而不是总风险，并且以绝对风险来对各种竞争报价的金融资产作出评价和选择。这种方法已经被金融市场上的投资者广为接受，在各大资管公司与基金中得到了广泛的应用。
但是CAPM模型也有其天生不足，首先，CAPM的假设前提是难以实现的。诸如其完全竞争假设等。在实际操作中很难实现的，包括“做市”等时有发生。其二假设是投资者的投资期限相同且不考虑投资计划期之后的情况。但是，市场上的投资者数目众多，他们的资产持有期间不可能完全相同，而且现在进行长期投资的投资者越来越多，所以假设二也就变得不那么现实了。假设之三是投资者可以不受限制地以固定的无风险利率借贷，这一点也是很难办到的。假设之四是市场无摩擦。但实际上，市场存在交易成本、税收和信息不对称等等问题。假设之五、六是理性人假设和一致预期假设。显然，这两个假设也只是一种理想状态。其次，CAPM中的β值难以确定。某些证券由于缺乏历史数据，其β值不易估计。此外，由于经济的不断发展变化，各种证券的β值也会产生相应的变化，因此，依靠历史数据估算出的β值对未来的指导作用也要打折扣。总之，由于CAPM的上述局限性，金融市场学家仍在不断探求比CAPM更为准确的资本市场理论。目前，已经出现了另外一些颇具特色的资本市场理论（如套利定价模型），但尚无一种理论可与CAPM相匹敌。
接下来为大家介绍CAPM模型的详细内容与模型结构。资本资产定价模型：E(ri)=rf+βi(E(r)-rf)
E(ri) 是资产i 的预期回报率
rf 是无风险利率
βi 是[[Beta系数]]，即资产i 的系统性风险
E(r) 是市场m的预期市场回报率
E(r)-rf 是市场风险溢价（market risk premium），即预期市场回报率与无风险回报率之差
CAPM公式中的右边第一个是无风险收益率，比较典型的无风险回报率是10年期的政府债券。如果股票投资者需要承受额外的风险，那么他将需要在无风险回报率的基础上多获得相应的溢价。那么，股票市场溢价（equity market premium）就等于市场期望回报率减去无风险回报率。证券风险溢价就是股票市场溢价和一个β系数的乘积。
对于CAPM模型的应用，资本资产定价模型主要应用于资产估值、资金成本预算以及资源配置等方面。
资产估值：在资产估值方面，资本资产定价模型主要被用来判断证券是否被市场错误定价。根据资本资产定价模型，每一证券的期望收益率应等于无风险利率加上该证券由β系数测定的风险溢价：
E（ri）=rF+[E(rM)-rF]βi
一方面，当我们获得市场组合的期望收益率的估计和该证券的风险 βi的估计时，我们就能计算市场均衡状态下证券i的期望收益率E（ri）；另一方面，市场对证券在未来所产生的收入流（股息加期末价格）有一个预期值，这个预期值与证券i的期初市场价格及其预期收益率E（ri）之间有如下关系：
在均衡状态下，上述两个E（ri）应有相同的值。因此，均衡期初价格应定为：
于是，我们可以将现行的实际市场价格与均衡的期初价格进行比较。二者不等，则说明市场价格被误定，被误定的价格应该有回归的要求。利用这一点，我们便可获得超额收益。具体来讲，当实际价格低于均衡价格时，说明该证券是廉价证券，我们应该购买该证券；相反，我们则应卖出该证券，而将资金转向购买其他廉价证券。当把公式中的期末价格视作未来现金流的贴现值时，公式也可以被用来判断证券市场价格是否被误定。
资源配置：资本资产定价模型在资源配置方面的一项重要应用，就是根据对市场走势的预测来选择具有不同β系数的证券或组合以获得较高收益或规避市场风险。
证券市场线表明，β系数反映证券或组合对市场变化的敏感性，因此，当有很大把握预测牛市到来时，应选择那些高β系数的证券或组合。这些高β系数的证券将成倍地放大市场收益率，带来较高的收益。相反，在熊市到来之际，应选择那些低β系数的证券或组合，以减少因市场下跌而造成的损失。
然后，我们回到上面的问题，Beta值如何确定？
一般情况下，贝塔系数利用回归的方法计算。贝塔系数为1即证券的价格与市场一同变动。贝塔系数高于1即证券价格比总体市场更波动。贝塔系数低于1（大于0）即证券价格的波动性比市场为低。
贝塔系数的计算公式
公式为：
其中Cov(ra,rm)是证券a的收益与市场收益的协方差；σ^2m是市场收益的方差。因为：Cov(ra,rm) = ρam·σa·σm，所以公式也可以写成：
其中ρam为证券a与市场的相关系数；σa为证券a的标准差；σm为市场的标准差。
从公式其实我们可以看出来，Beta值实际上与市场风险并没本质上的关联，并不代表市场风险。所以当我们在CAPM模型中使用Beta值衡量资产的风险与收益时，会造成一定的偏差。
但是我们知道，准确的CAPM模型的核心在于以Beta值衡量市场风险，但是如果Beta值得假设有错，那么准确的计量将无从谈起。对于Beta值得计算，我们有两个假定：
假定一：在过去一段时间内影响资产风险程度的因素，在未来的短期内仍将影响资产的风险程度。基于这一假定，所以我们可以对于Beta值做如下使用，假设对于证券A，在过去一个月内受到其财务信息，公告信息等基本面资料，其证券在过去一个月的相对于市场基准的Beta值为5，那么在接下来的短期内，如一周，我们可以假定其Beta值仍旧为5.并且以该值计算其风险期望模型。
假定二：对于任意资产，我们认为其风险程度取决于其本身的特质。诸如，对于市场的股票，我们认为市值越大的股票，其风险越低；同样我们还可以认为银行股的风险性会远低于周期性股票。所以在长期对于资产的风险程度的测量中，我们应该认为：Beta=f（q、p、……）+a，
式中：δkt——第是个风险因素在时期，的意外变化；bik资产i对第是个风险因素的敏感系数。
非常巧，多因子模型的结构已经被我们推到出来了。
最后附注三个典型的多因子模型：
第一，Brennan—Schwartz模型
Brennan—Schwartz模型运用短期和长期利率作为因子解释利率期限结构。短期利率对长期均衡有均值回复的效应，并遵循对数正态过程，长期利率遵循另外的对数正态过程，即：
dlnr=a(lnl− lnr)dt+b1W1
dl=la(r,l,b2)dt+b2ldW2
其中E[dW1dW2] =pdt.从模型中无法直接得到债券价格的封闭解，必须求解其数值解。
第二，Richard模型
Richard模型运用实际利率ρ和通货膨胀率π作为两种因子，两者相互独立，并遵循以下平方根过程：
r= ρ + π(1 −var[dP/P])
其中，P表示预期变化为通货膨胀率的价格。因而名义债券价格的解为：
第三，Cox-Ingersoll-Ross／Langetieg模型
1985年，Cox，Ingersoll和Ross又发展了两因子模型，认为利率的变化除了短期利率的随机过程外，还存在长期利率的随机过程。遵循CIR模型的思路，瞬时利率r可以分解成两个独立的因子Y1和Y2(即r=y1+y2)，则关于债券价格的解为：
如果每一因子都遵循Vasicek假设，那么其中每一个P值都会有单因子解；如果每一因子都遵循CIR假设，那么债券价格将是两个CIR公式的乘积。
图片附注：
