前置知识
GAN（生成对抗网络）在semi-supervised learning（半监督学习）上取得了较强的实证成果，但是有两点是我们都没搞明白的：
- discriminator（判别器）是如何从与generator（生成器）的联合训练中收益的
- 为什么一个好的classification（分类）效果和一个好的生成器不能同时获得
本质目标
为了更好的寻找能正确分类的low-density boundary（低密度边界）
为了防止非正确分类低密度边界的干扰，我们需要用生成器产生可见样本空间中的“补样”，填充一些低密度区域，此时的生成器产生的样本分布与真实分布是不一致的，因此生成器是“bad”的。
OpenAI提出的基于GAN的半监督学习的优化目标（损失函数）如下：
[站外图片上传中...(image-d74737-1558527258331)]
参数说明
- 标注集L={(x,y)}，其中x为图像数据，{1,2,…,K}对应K个真类，还有一个K+1的假类
- P_G、P_D是对应于G（生成器）和D（判别器）的概率分布，P_D覆盖K+1个类的分布，前K个类是真类，第K+1个类是假类（生成器生成的），和CatGAN一样
- P是真实数据的概率分布
这个损失函数由三部分组成。第一部分是最大化在标注集L中log下的P_D条件概率的数学期望，这个是基本的监督学习的损失函数；第二部分是最大化在真实数据p中log下的P_D对前K个类的概率的数学期望；第三部分是最大化在生成数据P_G中log下P_D对第K+1类概率的数学期望。
这样看还是太复杂了吧，我这里用一些简单的语言来解释：
第一部分，是希望D能从标注数据L中接收任意输入（x，y），得到的输出y^与输入时的y一致，也就是正确分类，然后将这种概率最大化。
第二部分，是希望D能从真实数据P（包含未标注数据）中接收任意输入x，得到的输出y被认为是真类，将这种概率最大化。
第三部分，是希望D能从生成数据P_G（都是假的）中接收任意输入x，得到的输出y被认为是假类，将这种概率最大化。
这里的D实际上就是一个多分类神经网络，D的最后一层就是一个softmax激活函数。
理论推导
提议1
如果生成器D是完美的，即P_D与P的分布完全一致，那么公式的第二部分和第三部分就是矛盾的，如果第二部分大，则第三部分必然很小，反之亦然。
因此，当生成器是完美的时候，不仅生成器不起作用，而且未标记的数据也没有得到有效利用。
假设1
收敛条件。当D收敛于一个训练集{L,U,G}（L是标注数据，U是未标注数据，G是生成数据），D能学到一个完全能正确分类的决策边界。更具体来说，（1）L中的数据均能正确分类；（2）G中的数据均被分在第K+1类（3）U中的数据均被分在前K个类中。
推论1
当生成的数据是无穷多的时候，根据Lemma1，我们有以下推论，D在softmax前输出的属于前K个类的值均小于等于0
提议2
在满足推论1的情况下，我们所有的分类集合均正确分类。
直观地说，生成器生成补码样本，因此真实类的logits在补码样本中必须很低。因此，该鉴别器在低密度区域获得了类边界。
实验方法
Generator Entropy（生成熵）
这里可以用L_PT代替
Generating Low-Density Samples（生成低密度样本）
最小化它
生成器的目标函数（损失函数）
也就是生成熵+生成低密度样本
[图片上传失败...(image-75dd29-1558527258331)]
判别器的目标函数（损失函数）
实验结果
当然是SOTA啦！
