title: 第四章 多项式
category: 笔记
date: 2019/10/06
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多项式(多项式是个函数)：
次数:
如果所有的系数都为，那么p的次数就是
根
对于多项式如果数
满足
则称
为
的根。
4.1命题：
设是
次多项式，
令
，则
是
的根当且仅当存在
次多项式
使得
4.2%3D(z-%5Clambda)q(z)%2Cz%5Cin%20F)
.
4.3推论
设则
4.4推论
设如果
即恒等于的多项式，系数全为
.
4.5引理：带余除法(Division Algorithm):
设并且
则存在多项式
使得
并且
4.6 
.
4.2 复系数
4.7代数学基本定理(Fundamental Theorem of Algebra):
每个不是常数的复系数多项式都有根。
4.8推论：
如果是非常数多项式，则
可以唯一分解(除因子的次序之外)成如下形式：
4.9 %3Dc(z-%5Clambda_1)%5Cdots(z-%5Clambda_m)%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADc%2C%5Clambda_1%2C%5Cdots%2C%5Clambda_m%5Cin%20C.)
4.3实系数
关于复数的知识：
,a称为实部(real part),记为Re z,b为虚部(imaginary part),记为Im z.
对于任意复数都有：
复数的复共轭(complex conjugate),记为
,定义为：
复数的绝对值(absolute value),记为
,定义为:
实部、虚部、绝对值和复共轭具有以下性质：
1.实部的可加性(additivity of real part):对所有
2.虚部的可加性(additivity of imaginary part):对所有
3.:对于所有
4.:对于所有
5.复共轭的可加性(additivity of complex conjugate):
6.复共轭的可乘性(multiplicativity of complex conjugate):对于所有
7.共轭的共轭(conjugate of conjugate):对所有;
8.绝对值的可乘性(multiplicativity of absolute value):对所有
4.10命题：
设是式系数多项式。如果
是
的根，则
也是
的根。
4.11命题：
设,则存在形如
4.12 (x-%5Clambda_2)%2C%5Clambda_1%2C%5Clambda_2%5Cin%20R)
.的因式分解当且仅当
4.13 %5E2%2B(%5Cbeta-%5Cfrac%7B%5Calpha%5E2%7D%7B4%7D).)
4.14定理：
如果)
是非常数多项式，则
可以唯一(除因子的次序之外)分解成如下形式。
其中,并且对每个
都有
