常见概率分布及其特征

一维离散型随机变量

分布	分布律	期望	方差	可加性	无记忆性
(0-1)分布 $B(1,p)$	$P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q$	$p$	$p(1-p)$	否	否
二项式分布 $B(n,p)$	$P(X=k)=C_{n}^{k}p^kq^{n-k},k=0,1,2,\dots$	$np$	$np(1-p)$	是	否
Poisson分布 $P(\lambda)$	$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},k=0,1,2,\dots$	$\lambda$	$\lambda$	是	否
几何分布 $G(p)$	$P(X=k)=pq^{k-1},k=1,2,\dots$	$\frac1p$	$\frac{p}{q^2}$	否	是
超几何分布 $H(n,M,N)$	$P(X=k)=\frac{C^k_MC^{m-k}_{N-M}}{C^m_N},k=0,1,2,\dots,min(n,M)$	$\frac{nM}{N}$	$\frac{nM(N-n)(N-M)}{N^2(N-1)}$	否	否

一维连续性随机变量

分布	概率密度函数	分布函数	期望	方差	可加性	对称性	无记忆性
均匀分布 $U(a,b)$	$f(x)=\left\{\begin{align}{}&\frac{1}{b-a},a<x<b\\&0\quad \quad ,otherwise \end{align}\right.$	$F(x)=\left\{\begin{aligned}{}&0,x<a\\&\frac{1}{b-a},a\leq x<b\\&1,x\geq b \end{aligned}\right.$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$	否	是	否
指数分布 $E(\lambda)$	$f(x)=\left\{\begin{aligned}{}&\lambda e^{-\lambda x},x \geq 0\\&0,x<0\end{aligned}\right.$	$F(x)=\left\{\begin{aligned}{}&1-e^{-\lambda x},x \geq 0\\&0,x<0\end{aligned}\right.$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$	否	否	是
正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$F(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})$	$\mu$	$\sigma^2$	是	是	否
标准正态分布 $N(0,1)$	$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$	$\Phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)dt\\\Phi(0)=\frac12,\Phi(-x)=1-\Phi(x)$	0	1	是	是	否

二维离散型随机变量

联合分布律： $P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij};p_{ij}\geq0.\sum^{\infty}_{i=1}\sum^{\infty}_{j=1}p_{ij}=1(i,j=1,2,\dots)$

边缘分布律： $P\{X=x_i\}=\sum^{\infty}_{j=1}p_{ij}=p_{i.}(i=1,2,\dots)\\P\{Y=y_j\}=\sum^{\infty}_{i=1}p_{ij}=p_{.j}(j=1,2,\dots)$

条件分布律： $P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{p_{ij}}{p_{.j}}\\P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{p_{ij}}{p_{i.}}$

二维连续型随机变量

联合概率密度： $(X,Y)\sim f(x,y),f(x,y)\geq0,\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,v)dudv=1$

边缘分布： $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy,F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(x)dx\\f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx,F_Y(y)=\int_{-\infty}^{y}f_Y(y)dy$

条件概率密度： $f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\\f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$

分布	概率密度函数或分布函数
二维均匀分布 $(X,Y)\sim U(D)$	$f(x,y)=\left\{\begin{align}&\frac{1}{A}\quad(x,y)\in D\\&0\quad(x,y)\notin D\end{align}\right.$
二维正态分布 $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$	$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{\frac{-1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]},-\infty<x,y<+\infty$
$Z=X+Y$	$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy$ (卷积公式)
$Z=X-Y$	$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,x-z)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z+y,y)dy$
$Z=min\{X,Y\}$	$F_Z(z)=1-[1-FX(z)][1-F_Y(z)]$
$Z=max\{X,Y\}$	$F_Z(z)=F_X(z)F_Y(z)$
$Z=\frac{Y}{X}$	$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}	x	f(x,xz)dx$
$Z=XY$	$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{	x	}f(x,\frac{z}{x})dx$
$Z=g(x,y)$ , $y=h(x,z)$ 存在且可导	$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,h(x,z))	\frac{\partial h(x,z)}{\partial z}	dx$

统计分布

分布	条件	形式	期望	方差	可加性	对称性
卡方分布 $\chi^2(n)$	$X_1,X_2,\dots,X_n$ 相互独立且同分布于 $N(0,1)$	$(X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2)\sim\chi^2(n)$	$n$	$2n$	是	否
t分布 $t(n)$	$X\sim N(0,1),Y\sim\chi^2(n)$ ，且 $X,Y$ 相互独立	$\frac{X}{Y/n}\sim t(n)$	$0$	$\frac{n}{n-2}$	否	是
F分布 $F(m,n)$	$X\sim\chi^2(m),Y\sim\chi^2(n)$ 且 $X,Y$ 相互独立	$\frac{X/m}{Y/n}\sim F(m,n)$	/*	/*	否	否

Gamma分布

$\begin{array}{} \Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt \\ \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} \\ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \\ \Gamma(n)=(n-1)! \\ \int_{0}^{+\infty}e^{-x}x^kdx=k! \end{array}$

最后编辑于：2020.09.02 20:23:37