从幂运算说起

有时候我们会把一个数乘以自己，连续乘n次：

为了方便，人们把这种运算定义为幂运算，又称指数运算，记作，读作a的n次方，其中a是底数，n是指数。

当n是自然数时，幂运算就代表n个a的乘积。这时的定义非常的直观，很好理解。

那如果将n从自然数扩展到更多的数时，比如带小数的有理数时，幂运算“乘以小数次”又该是什么含义呢？

我们可以从这个定义出发，来看看随着取值范围的扩大，幂运算的含义是怎样扩展的。

定义整数指数幂

首先将指数取值扩展到整个整数域，也就是思考下指数为负整数时的含义。

当指数为负整数时，我们这样理解，指数少了1就代表幂少乘了一次底数，那么指数为负整数z=-n可以认为是除以了n次底数。因此定义为，，，

这样就同时定义了n=0时的值，

由于0作为除数是没有意义的，所以对于，数学上没有给出明确的定义。在不同的数学分支，数学家会根据实际情况补充0的0次方的定义，比如在组合数学中，将其定义为1。你可以理解为它就是个符号，不是个运算结果。

定义有理数指数幂

我们再考虑指数是非整数的有理数时的含义。也就是前文说的，”乘以小数次自己“是个什么含义。

首先可以理解这样的性质，。

定义开根运算为。

则有。

可见，开m次根，相当于指数除以了m。

所以，对于指数为n/m，相当于。也就很好理解了。

这以上都是非常简单的概念，大家稍安勿躁，循序渐进主要是呈现这个扩充定义的过程，很多东西我们学会之后觉得非常自然，忘记了这些定义并不是自然而然存在的。

下面的扩充可能就需要用到更多工具来扩展了。

定义正实数的实数幂

基于连续性的定义

对于无理数，无法写成两个整数之商，应该是什么含义呢？

实际上，接下来的定义有一个隐性的前提，那就是：幂函数在实数域上是连续的。

这样一来，无理数指数就可以用近似的有理数指数来逼近。

比如，由于

找到越接近的有理数，这个幂值就越逼近。

这种定义是基于有理数指数幂和连续性的。

考虑引入常数e，它是从以下极限计算而来的：

可以证明

e被称为欧拉常数，约为2.718，后面会讲到，它提供了定义非整数指数幂的一个方法。

可以容易证明，而这个式子我们后面将会用到。

定义对数函数为指数函数的反函数，对任意b>0，有

那么当底数a>0时，实数指数就可以定义为：

这个十分常用

如果你非常仔细的话，会发现，这种定义是不是只能局限在底数a>0的情况？而如果更加细心的话，你会发现上述所有定义是不是都还没考虑底数的取值范围？的确，上述所有定义其实都不完整，都只是对底数a为正实数而言的。之所以一开始不说，是因为在最早就说明只针对正实数的话，不容易说清楚这样限定的意义。

定义正实数的复数指数幂

我们继续来扩展幂运算指数的范围，考虑在复数域上它的含义。

和前面一样，我们每到一个新的数域，都会从这个数域的数是如何定义来的出发，来推演幂运算的含义。比如负整数，它是减法定义而来的，定义幂时就从指数的减法出发；比如有理数，它是整数的商，是由除法定义来的，我们定义幂时就从指数的除法出发。那么复数是如何定义而来的呢？

首先虚数单位i是这么来的：

所谓虚数单位，你可以理解为是数的单位，我们实数的单位是1，虚数的单位是i。

而复数，简单说就是实数和虚数加在一起的数。任何一个复数都可以写作：

之所以啰嗦这么多，是因为我们需要借助复数的定义，来定义复数指数幂。

对于复平面上一个复数点：，它横坐标为1，纵坐标为x/n。

借助复数乘法的几何意义，两个复数相乘，等于幅角相加，幅值相乘。实际上是这个点绕原点逆时针旋转了2倍自己的幅角，离原点距离不变。

以此类推，就是旋转了n倍幅角。

当n越来越大趋于无穷时，这个点实际上是在一个半径为1的单位圆上旋转n倍自己的幅角。由于n非常大，所以每一倍幅角实际上就等于 x/n 弧度。而最终旋转了n倍，总共为x弧度，所以这个式子的几何含义就是在单位圆上逆时针旋转了x弧度的点。

此时我们利用前面的一个极限式，对这个式子求极限：

这样也就得到了的几何含义，即是复平面上幅角为x弧度，幅值为1的点。即：

特别地，当时，可以得到这样一个式子：

这就是著名的欧拉公式，它将代数和三角联系了起来，并且将自然对数底e、圆周率这两个数学中最重要的超越数，以及最根本的两个单位1和i涵盖在了一个式子中，具有无与伦比的美感...因此后人也将这个式子称为上帝公式。

基于前面这个公式，我们很容易就能把幂运算的指数扩展到整个复数域了。

人生启示

幂运算起初的定义是非常简单的，可以说就是方便表示连续乘法的一个记号。但这个记号本身通过扩充定义，从非常有限的范围不断扩大到更广阔的天地，最后发展出了它自己的存在意义，它来源于乘法，但它绝不仅仅是乘法。

我们的人生，一开始都是源于一场定义，父母的定义：我的孩子。后面我们不断有了新的关系和随之而来的行为，通过这些关系和关系中的行为，我们发展出了越来越多的定义，长辈眼中的后辈，老师眼中的学生，商贩眼中的顾客，老板眼中的员工，伴侣眼中的伴侣，孩子眼中的父母...  这非常像幂运算的扩充，不给自己设限，在新的域，根据新的域中数的行为，给予了自己新的行为，和新的定义。

我们扩展着自己的身份，谓之成长，打上更多的标签担当更多的角色，谓之立世。在社会中拥有了更加丰富的定义，以更好地为社会所用。但总有某个时刻会突然回想，我们仅仅是希望被定义吗，最初只有一个定义的我，和现在的我，究竟有什么不同呢？我的存在意义是由这些定义组成的，还是这些定义支撑着我去成为一个有存在意义的人？我应该是一个人，而不是一堆标签，不是别人的看法组成的。但如果没有标签我是不是又寸步难行了？

再看看幂运算，实在令人羡慕。幂运算的指数可以说是融入了整个复数域，原本处处是奇点，到后来无处是奇点、无处不连续、无处不可微，在复数域中翱翔。最终还诞生了究极的公式，究极的美，达到了大和谐。

也许有些意义是互相成就的吧。