课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

0. 涉及内容

p.190 - p.212

1. 连续时间傅里叶变换性质

1.1 线性性质

$ax(t) + by(t) \xleftrightarrow{F} aX(j\omega)+bY(j\omega)$

回想我们在连续时间周期信号的傅里叶级数线性性质中，强调了 $x(t)$ 和 $y(t)$ 需要具有相等的周期 $T$ ，这里，在非周期信号的傅里叶变换中，不需要这个条件。

1.2 时移性质

$x(t-t_0) \xleftrightarrow{F} e^{-j\omega t_0} X(j\omega)$

信号在时间上的移位，并不改变它的傅里叶变换的模，只是在其变换中引入相移 $-\omega t_0$ ，相移与频率 $\omega$ 成线性关系。

1.3 共轭与共轭对称

$x^*(t) \xleftrightarrow{F} X^*(-j\omega)$

推导过程：对 $X(j\omega)$ 取共轭得到，

$\begin{align*} X^*(j\omega) &= \Bigg [ \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j{\omega} t} \mathrm{d}t \Bigg ] ^* \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^*(t) e^{j\omega t} \mathrm{d} t \end{align*}$

用 $- \omega$ 代替 $\omega$ ，可得
$X^*(-j \omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^*(t) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t$

上式就是 $x^*(t)$ 的傅里叶变换分析公式。

如果 $x(t)$ 为实函数，那么 $x^*(t) = x(t)$ ，就得到了共轭对称性，
$X(-j \omega) = X^*(j\omega)$

这也就是说，如果 $x(t)$ 为实函数，那么其傅里叶变换 $X(j\omega)$ 的实部是频率的偶函数，虚部是频率的奇函数。也可以推导出， $\vert X(j\omega) \vert$ 是频率的偶函数， $\sphericalangle X(j\omega)$ 是频率的奇函数。

1.4 微分与积分

$\frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t} \xleftrightarrow{F} j \omega X(j \omega)$

$\int_{-\infty}^{t} x(\tau) \mathrm{d} \tau \xleftrightarrow{F} \frac{1}{j \omega} X(j \omega) + \pi X(0) \delta (\omega)$

积分性质中，项 $\pi X(0) \delta (\omega)$ 反映了由积分所产生的的直流或平均值。

1.5 时间与频率的尺度变换

$x(at) \xleftrightarrow{F} \frac{1}{\vert a \vert} X \bigg ( \frac{j \omega}{a} \bigg )$

$x(-t) \xleftrightarrow{F} X(-j \omega)$

在时间上反转一个信号，其傅里叶变换也反转。

1.6 对偶性

如果一个时间函数有某些特性，而这些特性在其傅里叶变换中隐含着一些别的什么东西，那么与频率函数有关的同一特性也会在时域中隐含着对偶的特性。

1.6.1 对偶性在微分性质中的应用举例

$\frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t} \xleftrightarrow{F} j \omega X(j \omega)$

$-jtx(t) \xleftrightarrow{F} \frac{\mathrm{d} X(j \omega)}{\mathrm{d} \omega}$

1.6.2 对偶性在时移性质中的应用举例

$x(t-t_0) \xleftrightarrow{F} e^{-j\omega t_0} X(j\omega)$

$e^{-j\omega _0 t} x(t) \xleftrightarrow{F} X(j(\omega - \omega _0))$

1.6.3 对偶性在积分性质中的应用举例

$\int_{-\infty}^{t} x(\tau) \mathrm{d} \tau \xleftrightarrow{F} \frac{1}{j \omega} X(j \omega) + \pi X(0) \delta (\omega)$

$- \frac{1}{jt} x(t) + \pi x(0) \delta(t) \xleftrightarrow{F} \int_{-\infty}^{\omega} X(\eta) \mathrm{d} \eta$

1.7 帕斯瓦尔定理

$\int_{-\infty}^{+\infty} \vert x(t) \vert ^2 \mathrm{d} t = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \vert X(j \omega) \vert ^2 \mathrm{d} \omega$

$\vert X(j \omega) \vert ^2$ 常被称为信号 $x(t)$ 的能量谱密度。

帕斯瓦尔定理指出，信号 $x(t)$ 的总能量既可以用单位时间内的能量 $\vert x(t) \vert ^2$ 在整个时间内积分得到，也可以用单位频率内的能量 $\vert X(j \omega) \vert ^2 /(2 \pi)$ 在整个频率范围内积分得到。

2. 卷积性质

$y(t) = x(t) * h(t) \xleftrightarrow{F} Y(j \omega) = X(j \omega) H(j \omega)$

这个性质将两个信号时域里的卷积映射到了频域里傅里叶变换的乘积。

我们在傅里叶变换推导的那篇笔记中学习过，傅里叶变换的收敛需要能量可积和狄利赫里条件才能得以保证，这也就是说并不是所有的LTI系统都能定义出频率响应 $H(j \omega)$ 。

然而，如果这个系统是稳定的，那么其单位冲激响应一定满足绝对可积条件，即
$\int_{-\infty}^{+\infty} \vert h(t) \vert \mathrm{d} t < \infty$

上式就是三个狄利赫里条件之一，而只有三个狄利赫里条件全部满足才能保证 $h(t)$ 的傅里叶变换 $H(j \omega)$ 存在。因此，假设 $h(t)$ 也满足另外两个狄利赫里条件，事实上，所有物理上或者实际上有意义的信号都是满足的，那么一个稳定的LTI系统就有一个频率响应 $H(j \omega)$ 。

3. 相乘性质

根据傅里叶变换的对偶性，既然时域的卷积可以映射到频域里傅里叶变换的相乘，那么我们有理由猜想，时域的相乘也可以映射到频域的卷积。
$r(t) = s(t) p(t) \xleftrightarrow{F} R(j \omega) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S(j \theta) P(j(\omega - \theta)) \mathrm{d} \theta$

两个信号相乘往往也称为幅度调制，因此上面这个式子也被称为调制性质。

4. 由线性常系数微分方程表征的系统

研究下面这个常系数线性微分方程，
$\sum_{k=0}^{N} {a_k} {\frac{{\mathrm{d} ^k} y(t)}{{\mathrm{d}}t^k}} = \sum_{k=0}^{M} {b_k} \frac{\mathrm{d} ^k x(t)}{\mathrm{d}t^k}$

$H(j \omega) = \frac{Y(j \omega)}{X(j \omega)} = \frac{\sum_{k=0}^{M} {b_k} (j \omega) ^k}{\sum_{k=0}^{N} {a_k} (j \omega) ^k}$

开刷：《信号与系统》第4章 Lec #9 连续时间傅里叶变换性质