无限，一个似乎无处不在又似乎难以捉摸的东西，这个神奇的东西，在不同的人眼里散发着不一样的光芒。有人认为很寻常，不过是一个形容词罢了，有人认为这很值得研究，但必须要把它限制在一个严格的范围，还有人认为这样严格的范围大可不必，还还有人认为它有尽头。这些抱着不同想法的人有大哲学家、大物理学家、大数学家、普通人，当然了，这里也少不了自作聪明的蠢人。

今天写在这里，目的在于希望在一些角度能够普及一些关于无限的奥秘，尽管局限于个人能力会产生一些表达上的不规范，但出于普及的目的大约也足够了，毕竟深入了解这些内容的人们是没有必要从这里获取什么认识的，而我所做的也只不过是普及罢了，倘若有人能更进一步了解一下合理的指出了我的谬误，这便是我最大的希望了。

希腊哲学家亚里士多德在两千多年前，就已经对无限进行区分，他把无限区分成了潜在无限与实在无限，而这样的区分这也许是历史上最后一次关于无限的知识和普通人的直觉想象是如此的接近。对于普通人而言，中国古代的一句“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是关于无限最直接也最平易近人的一种想象了。而这里绝对的万世不竭即可以粗暴的理解为亚里士多德的实无限，而一尺之棰，日取其半，相对的在人类一定历史时期的尺度上终是有尽头的，而这个尽头就可以粗暴的理解为潜在无限。

而亚里士多德给人们设置的这个关于无限的禁区，一直跨越了千年，规训着人们对于无限的认识。长久以来人们相信着这样一个事实，那就是关于实在无限，不属于有意义的讨论范围，关于数学也要存在于可通过有效手段构建的事物范围之内才有意义。所以才有了那些每个小学生都知道的常识，直线和射线不可以比较长短因为它们都可以无限延伸。

然而真的就必须如此么？

跨越了千年黑暗，一直到19世纪末，一位看起来敏感而又稍显脆弱的数学家站了出来给出了自己的答案，这位数学家就是集合论的创始人，德国人格奥尔格.康托尔。

康托尔首先给出了关于可数无穷集与不可数无穷集的理论雏形，尽管当时的他因为提出的这些理论稍显超前而引来攻讦，导致他的精神陷入艰难，但我们这些后世之人却由此打开了数学世界的一扇光明之门。康托尔用他的对角线证明法，证实了占实数中绝大部分的超越数的存在，由此让人们明白了关于无限哪些是可以等价的，那些是可以比较的。当然这里为了能够方便更多人理解关于无线之间是如何比较的，我们就稍微简单的介绍一下关于康托尔的对角线证明法，出于仅作为对过程的介绍，这里省去了诸多必要的前提只描述最关键的部分。

当我们考察无限的正整数所构成的集合和无限的0到1之间的实数集合，这两个集合的大小如何证明时，我们可以假定这两者是可以一一对应的等价集合，于是我们很容易就可以用无限的正整数对无限的01之间的实数进行一一对应编号，这样左右两边形成了两列一一对应的实数和正整数。接下来我们在实数列小数点的第一位开始每个数字都同样加1，于是我们就得到一个在与正整数一一对应的实数数列里从来没有出现过的一个实数，而这一实数就是超越数。由此我们从这样的证明里知道了超越数的存在，知道了实数这一不可数无穷集的无限要大于正整数这可数无穷集所形成的无限。

于是在数学里关于“无限”从此有了区别于人类直觉之内的涵义。

而当我们再去看物理学的时候，又会惊讶地发现无限的涵义在一些物理理论中又有了区别于直觉的深刻不同。20世纪最著名的物理学派之一，波尔和海森堡建立的哥本哈根学派提出的量子引力理论，提出对时间和空间的量子化。但很快，朗道用他的物理直觉对理论提出了一些质疑，朗道认为量子涨落会影响我们对于时空某一点的测量，虽然随后波尔也给出了看似合理的解释，但很快朗道的好友马特维给出了更加强有力的质疑，马特维提出，当我们试图对某一极小的空间进行测量的时候，需要在这里放一些什么东西进行标记比如一个粒子，但当我们这么做的时候，根据海森堡的测不准原理，我们无法把一个粒子放在确定的区域很长时间，这一区域越小粒子逃逸的速度就越大能量也就越高，根据而相对论的原理，粒子的巨大能量会使其跌入自身的黑洞，这样我们就无法测量它了。

就在陷入这样的矛盾之后，惠勒提出了他颇为浪漫的量子泡沫理论，惠勒给出的关于空间的一些定义发生了一些变化，空间在这里变成了一种量子泡沫，一种存在最小尺度的非连续存在，那个最小尺度也就是如今人人都熟知的普朗克空间尺度。

于是到了这里我们发现在物理学意义上，空间所构成的无限也不再是“日取其半，万世不竭的实在无限了。”然而倘若我们空想一下，空间的这种非实在无限是否就意味着必然是数学意义上的可数无限或亚里士多德的潜在无限呢，我对这一点并不清楚，也很难哪怕是有一些臆断，因为毕竟在这里写下的一切也仅仅是一种出于普及的角度而所做的不那么规范的类比而已。

但即使一些我无法给出答案，但并不要紧，因为我在这里想要普及并非这些本该有殿堂级大师们才能发现或创造的理论本身，而是仅仅试图通过在不同学科内关于“无限”这一神秘的存在所展现出的一些端倪来给更多人带来一些启发。所以我认为，我仍然可以说一些什么。

我们以上用了两千多字终于粗略而简要地描述了一番在哲学、数学、物理学学科内的一些关于无限所展现出的性质。首先，哲学上对无限所做的关于潜在无限和实在无限的区分，其中潜在无限更是表现出了一种对人类直觉天然的亲切。其次，数学上关于可数无限和不可数无限的证明过程以及那远离人类直觉的超越数。以及物理学上空间在无限小的尺度上表现出的不可再分性。

而通过以上的展示我们又能明白什么呢？我认为，很直接的就能让我们明白一点，那就是当我们在严肃认真的讨论一个问题的时候，一定要明确区分清楚这个问题的讨论需要被限制在哪一个范畴之内！只有我们明白了这一点，才能真正地明白，倘若我们试图证明一个数学问题，就绝不能使用文学词汇内涵的多样性。比如当我们回到19世纪的康托尔时刻，我们试图证明无限和无限是否可以进行比较的时候，就不能使用因为无限这一词汇在文字涵义上的相同就简单的用直觉认为他们相同，并且理直气壮的认为自己证明了一个数学问题。也许很多人看到这里会觉得好笑，会认为没有人会这么傻，但请相信我，这个世界上用语文方法来证明数学命题的民间科学家大有人在！比如这些民间科学家来证明无限正整数构成的集合与无限实数集合大小时，会提出因为正整数和实数中有理数集合是等价的，因此证明了正整数集合小于实数集合，全然不顾首先证明了超越数的存在才有了可数无限集合之间的等价这一现实，醉心于用1+1=2证明了2+2=4的快乐。

而我所希望的我所写这篇文章的目的之一，正是杜绝更多这种“人”的出现。当然多说一句，使用物理空间上的普朗克尺度不可再分在数学上要证明不可数无穷的也是有些不妥的，因为他们分属两个范畴，一个是数学一个物理。

在说完不要用看起来像是哲学的语文或者物理来证明数学的时候再看一看另一个问题。数学中实数的不可数无限与代数数的可数无限，和物理学的空间普朗克尺度的不可再分，他们之间似乎总觉得在冥冥之中有些什么关系，但很遗憾我没有看到或者也可能没有这样的理论能对两者建立起一些实质的联系。

而之所以会有以上这种看起来有些无聊的空想，也是因为从杨振宁关于数学与物理的关系的演讲里，了解到数学里的纤维丛理论竟然和物理学的规范场理论在事先没有交流的独立发展中竟然得出了近乎相同的理论，两个理论只是在一些基本概念有些名义上的不同而已。我从杨振宁对纤维丛和规范场的异曲同工的惊讶里，也看到了他对于物质世界那本来难以捉摸的本质，竟然不约而同的在数学家和物理学家那里显露出一些可以交叉验证的端倪以后的震惊。

关于解释这一切为什么会发生，杨老说那可能是宗教的任务了，不过我对宗教却不怎么抱有什么幻想，毕竟宗教无论是想象力还是行动力都太差了。

我所希望的是能有一天，我竟然可以听到有人能告诉我，关于数学上的那些不可数的无限亦或者其他的那些原本纯粹作为数学的内容在物理世界竟然也可以真实地代表一些什么，虽然这听起来似乎有些自相矛盾，因为那些导致不可数的超越数明明就被称为非代数数，而代数数似乎听起来又代表着什么，所以权当作是一种无聊的空想吧，但我仍然希望未来能有惊喜。

讨论完以上那些让我在描述时感到困难的内容后，我们再回到常识的世界，或者也可以说是直觉的世界，我们上面说了一些关于什么不能做的内容，但显然作为人群中的绝大多数，普通人所拥有的仍然还是常识的世界，难道我们再常识的世界里竟然没什么可做了么？当然不是的，作为普通人求知是一种生存需求以外体现为人尊严的最好方式，既然我们来到这个世界，即便是作为一个普通人，但是我们仍然天然地拥有独一无二的人格，我们对这一份独一无二最好的交代不应该是吃喝玩乐，那些都是本能里就有的东西，无需努力就可获得。

生而为人，我们能做的还有很多，沿着前人开拓好的路，即便局限于自身天份的努力无法照亮别人，那么也请照亮自己！