地标性高考物理题详解~力电综合：2017年全国卷B题17

2017年全国卷B题25：力电综合

25.（20分）如图，两水平面（虚线）之间的距离为 H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的 A 点将质量均为 m、电荷量分别为 q 和 -q(q \gt 0) 的带电小球 M、N 先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知 N 离开电场时的速度方向竖直向下；M 在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为 N 刚离开电场时动能的 1.5 倍。不计空气阻力，重力加速度大小为 g。求

2017年全国卷B题17

（1）M 与 N 在电场中沿水平方向的位移之比;

（2）A 点距电场上边界的高度;

（3）该电场的电场强度大小。

两小球所受电场力方向相反大小相等

【解析】

第1问较为简单。如上图所示，在电场中，两小球同时受重力和电场力作用。由于电量一正一负，两小球在水平方向所受电场力大小相等，方向相反。所以，两小球的加速度方向相反，大小相等。

已知 N 离开电场时的速度方向竖直向下，意味着水平方向速度分量为0，所以 M 的水平方向速度为 2v_0. 从 v-t 图上可以直观地看出：两球的水平位移比为 1:3

小球 M 的v-t 图

再看第2问。我们牢牢地抓住这句话：M 在电场中做直线运动。由此可以得出结论：

\dfrac{v_{y1}}{v_{x1}}=\dfrac{v_{y2}}{v_{x2}}

由前面的分析可知：M 离开电场时的水平速度分量是进入电场时的2倍。竖直方向的速度分量之比和水平分量之比应相等：

v_{x2}=2 v_{x1} \Rightarrow \; v_{y2}=2 v_{y1}

在竖直方向，两小球仅受重力作用，a_y=g, v_y=gt

v_{y2}=2 v_{y1} \Rightarrow\; t_2=2t_1

上式中，t_1 和 t_2 分别表示小球进入电场和离开电场的时刻。上式表明：小球在电场中的运动时间与进入电场前的下落时间正好是相等的。

在竖直方向的位移公式为：s_y=\dfrac{1}{2} g t^2

t_2=2t_1 \Rightarrow\; t^2_2=4t^2_1 \Rightarrow\; s_{y2}=4s_{y1}

记 A 点距电场上边界的高度为 h, 则：

h+H = 4h \Rightarrow\; h=\dfrac{1}{3}H

两小球的末速度

再来看第3问。

两小球离开电场时的速度如上图所示，小球 N 的水平分量为0，小球 M 的水平分量为 2v_0.

因为刚离开电场时的动能为 N 刚离开电场时动能的 1.5 倍，所以：

(2v_0)^2 + v^2_{y2} = 1.5 \, v^2_{y2}

∴ v^2_{y2} = 8 v^2_0

∴ v_{y2} = 2 \sqrt{2} v_0

小球 M 穿过电场期间， \Delta v_x = v_0;\; \Delta v_y = \dfrac{1}{2}v_{y2}=\sqrt{2}v_0

∴ \dfrac{a_y}{a_x}=\dfrac{\Delta v_y}{\Delta v_x}=\sqrt{2}

∴ a_x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} a_y = \dfrac{\sqrt{2}}{2} g

∴ qE = \dfrac{\sqrt{2}}{2} mg

电场强度 E = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\dfrac{mg}{q})

【提炼与提高】

v-t 图是高中物理的一大神器，结合几何化方法，可以提高解决问题的效率。本题是又一典型实例。

矢量分析方法在本题中也发挥了重要作用。位移、速度、加速度都是矢量。

如果质点在一条直线上运动，那么，它的速度、加速度、在一段时间内的速度变化是一组平分的矢量。用公式表达如下：

\dfrac{v_{y1}}{v_{x1}} = \dfrac{v_{y2}}{v_{x2}} = \dfrac{ \Delta v_{y}}{ \Delta v_{x}} = \dfrac{a_y}{a_x}

运动学公式是解决力电综合大题的基础。本题中用到了以下公式：

\boxed{ s = \dfrac{1}{2} (v_1 + v_2) t } （匀加速直线运动的位移）

\boxed{ v_y = gt} （自由落体的速度）

\boxed{s_y = \dfrac{1}{2}gt^2} （自由落体的位移）

\boxed{E_k = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}m (v^2_x + v^2_y) } （动能的定义）

\boxed{F=qE} （电场力与电场强度的关系）

【回归教材】

『密立根实验』将电场力与重力关联起来。在重力与电场力平衡的情况下，有以下公式：

\boxed{qE=mg}

可以根据质量和电场强度求出电量；也可以根据质量和电量求出电场强度。

在本题中，质点同时受水平方向的电场力和竖直方向的重力作用，所以：

\boxed{\dfrac{qE}{mg} =\dfrac{ma_x}{mg}=\dfrac{a_x}{a_y}=\dfrac{\Delta v_x}{\Delta v_y} }

根据速度差的比值可以求出电场力与重力的比值，从而求出电场强度。

关于『带电粒子在电场中的运动』，可参考：《新概念高中物理读本》第二册第一章第5节（第31页）。

【相关真题】

力电综合是高考物理中的常见题型，参见以下“姊妹题”：

2014年全国卷A题25

此外，运动学公式的用法，可以参考以下基础性考题：

2011年全国卷题24

2014年海南卷题13

安全距离-2014年全国卷A题24

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