大学物理（2）-单摆复摆、能量

单摆

单摆示意图

单摆：细线一段固定在一点，另一端悬挂一体积可忽略（忽略物体本身的旋转）质量为m的中午，细线质量和伸长量忽略。若吧中午从平衡位置略为移开后放手，中午就在平衡位置附近往复的运动，这一振动系统叫做单摆。

单摆的运动方程

角位移 $\theta$ ：偏离竖直线的角度，规定右侧为正。
若悬线长为 $l$ ，重力力矩 $M = -mglsin \theta$ ，拉力力矩为0.
当角位移很小（一般为小于5°）， $sin\theta\approx \theta$ ，因此摆锤所受力矩为
$M = -mgl\theta$
形式类似 $F = -kx$
再由转动定律 $M = J \frac{d^2\theta}{dt^2}$ 和摆锤的转动惯量 $J = ml^2$ ，整理可得运动微分方程
$\frac{d^2\theta}{dt^2} = - \frac{g}{l}\theta$
由此可得，单摆的运动是简谐振动，角频率为 $\omega = \sqrt { \frac{g}{l} }$ ，运动方程： $\theta = \theta_m cos(\omega t + \varphi)$

复摆

复摆示意图

复摆：与单摆的区别在于不忽略物体本身的形状。虽然计算“摆线”的长度还是用固定点到质心来算，区别在于转动惯量J要看具体形状确定。因此，可将单摆看成复摆的一种特殊情况。
类似的，可推得微分方程：

\frac{d^2\theta}{dt^2} = - \frac{mgl}{J}\theta

此时，角频率为

\omega = \sqrt { \frac{mgl}{J} }

简谐振动的能量

动能： $E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \omega^2 A^2 sin^2(\omega t+\varphi)$
势能（以弹簧振子为例）： $E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t + \varphi) = \frac{1}{2}m\omega^2A^2cos^2(\omega t + \varphi)$
可以看出，动能和势能的和刚好是一固定数：
$E = E_k + E_p = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$
理论解释：在简谐振动过程中，只有系统的保守内力（如弹性力）做功，其他非保守力和外力均不做功，所以得出结论，系统作简谐振动的总能量守恒，即系统的动能和势能周期性的相互转化，总能量保持恒定。体现在振动过程中，就是振幅保持不变，简谐振动是等幅运动。

由能量守恒推导简谐振动微分方程

以弹簧振子为例，总能量E为某常数且满足方程：
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
对时间求导，得：
$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 )=0$
即
$mv\frac{dv}{dt} + kx\frac{dx}{dt} = 0$
再由 $v = \frac{dx}{dt}, \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$ ，整理得
$\frac{d^2x}{dt^2}+ \frac{k}{m}x = 0$
这种方法由能量守恒出发而绕过受力分析，对研究其他形式的振动十分有利。

大学物理（2）-单摆复摆、能量

单摆

单摆的运动方程

复摆

简谐振动的能量

由能量守恒推导简谐振动微分方程

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